目录
实对称矩阵
定义
A T = A A^T=A AT=A
实反对称矩阵
定义
A T = − A A^T=-A AT=−A
厄米特矩阵
定义
A H = A A^H=A AH=A
反厄米特矩阵
定义
A H = − A A^H=-A AH=−A
正交矩阵
定义
A T A = A A T = I A^TA=AA^T=I ATA=AAT=I
- 换言之，当 A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1时， A A A被称为正交矩阵
性质
- A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1
酉矩阵（幺正矩阵）
定义
A A H = A H A = I AA^H=A^HA=I AAH=AHA=I
- 其中， A H A^H AH表示共轭转置
- 换言之，当 A H = A − 1 A^H=A^{-1} AH=A−1时， A A A被称为酉矩阵
性质
- A H = A − 1 A^H=A^{-1} AH=A−1
- 酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，所以 ∣ d e t ( A ) ∣ = 1 |det(A)|=1 ∣det(A)∣=1
- A的列向量构成内积空间C上的一组标准正交基
- A的行向量构成内积空间C上的一组标准正交基
- 酉矩阵是正规矩阵
正规矩阵
定义
A H A = A A H A^HA=AA^H AHA=AAH
性质
- 对角矩阵、（反）实对称矩阵、（反）厄米特矩阵、正交矩阵、酉矩阵都是正规矩阵；
- 当 A A A的全部特征值为实数时，是厄米特矩阵；
- 当 A A A的全部特征值为零或虚数时，是反厄米特矩阵；
- 当 A A A的全部特征值的模为1时，是酉矩阵；
- A A A为正规矩阵的充要条件：存在酉矩阵 Q Q Q，使得 A A A酉相似于对角矩阵；
- 与正规矩阵 A A A有相似的矩阵都是正规矩阵；
- 正规矩阵 A n × n A_{n \times n} An×n必有 n n n个线性无关的特征向量；
- 正规矩阵 A A A的不同特征值的特征子空间是互相正交的。
正定矩阵
定义
对于 n n n阶方阵 A A A，若对于任何非零向量 x x x，都有 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0，则 A A A为正定矩阵。
性质
- 行列式恒为正；
- 实对称矩阵 A A A正定当且仅当 A A A与单位矩阵合同；
- 若 A A A是正定矩阵，则 A A A的逆矩阵也是正定矩阵；
- 两个正定矩阵的和是正定矩阵；
- 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵；
充要条件
- A A A的特征值均为正；
- 存在可逆矩阵 P P P，使得 A = P T P A=P^TP A=PTP，即 A A A与 I I I合同；
- A A A的顺序主子式均大于零；
- A A A的正惯性指数为 n n n；
友矩阵（伴侣矩阵）
定义
A = [ 0 0 ⋯ 0 − a 0 1 0 ⋯ 0 − a 1 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 − a n − 2 0 0 ⋯ 1 − a n − 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡010⋮0001⋮0⋯⋯⋱⋱⋯00⋮01−a0−a1⋮−an−2−an−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
- 主对角线上方或者下方的元素均为1，主对角线元素为零；
- 最后一行或第一行的元素可取任意值；而其余元素均为零;
性质
- 方阵的有理标准形就是由友矩阵块构成的分块对角矩阵，而有理标准形在应用上以及理论推导中，都有较大的作用；
旋转矩阵
定义
A = [ 1 ⋱ 1 c o s θ s i n θ 1 ⋱ 1 s i n θ c o s θ 1 ⋱ 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1cosθsinθ1⋱1sinθcosθ1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
- A ( p , p ) = A ( q , q ) = c o s θ A(p,p) = A(q,q) = cos\theta A(p,p)=A(q,q)=cosθ， A ( p , q ) = A ( q , p ) = s i n θ A(p,q) = A(q,p) = sin\theta A(p,q)=A(q,p)=sinθ，主对角线为1，其他位置均为0；
- 对于矩阵 X X X，左乘 A T A^T AT，则第 p p p行和第 q q q行发生改变；
- 对于矩阵 X X X，右乘 A A A，则第 p p p列和第 q q q列发生改变；
性质
- A A A为正交矩阵；
- 两个向量被同一个旋转矩阵操作之后，内积保持不变
对比
| 定义 | |
|---|---|
| 实对称矩阵 | A T = A A^T=A AT=A |
| 反实对称矩阵 | A T = − A A^T=-A AT=−A |
| 厄米特矩阵 | A H = A A^H=A AH=A |
| 反厄米特矩阵 | A H = − A A^H=-A AH=−A |
| 正交矩阵 | A A T = A T A = I AA^T=A^TA=I AAT=ATA=I |
| 酉矩阵（幺正矩阵） | A A H = A H A = I AA^H=A^HA=I AAH=AHA=I |
| 正规矩阵 | A A H = A H A AA^H=A^HA AAH=AHA |
| 正定矩阵 | ∀ x , x T A x > 0 \forall x,x^TAx>0 ∀x,xTAx>0 |
| 友矩阵（伴侣矩阵） | A = [ 0 0 ⋯ 0 − a 0 1 0 ⋯ 0 − a 1 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 − a n − 2 0 0 ⋯ 1 − a n − 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡010⋮0001⋮0⋯⋯⋱⋱⋯00⋮01−a0−a1⋮−an−2−an−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ |
| 旋转矩阵 | A = [ 1 ⋱ 1 c o s θ s i n θ 1 ⋱ 1 s i n θ c o s θ 1 ⋱ 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1cosθsinθ1⋱1sinθcosθ1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ |
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