李雅普诺夫（第二方法）稳定性分析+例题

全栈程序员-站长 • 2026年3月19日上午10:22 • 未分类 • 阅读 1

1. 背景和思路

2. 李雅普诺夫第二方法

3. 李雅普诺夫稳定性分析

4. 例题

1. 判断非线性定常系统稳定性：

首先这是二维系统。P是自己选的，要找一个2*2的矩阵。
先确定稳态：两个x的导数都为0，解出来是x1=x2=0，所以稳态是[0,0]’。
P取为I2，得到李雅普诺夫函数：

只要选正定的P，那么V(x)就是正定的，要验证的只是它的导数的负定性：
在这里插入图片描述
计算的时候代入x1和x2的导数的表达式就可以。这里a>0，V的导数是负定的。所以平衡状态是渐近稳定的。
另外，当||x||无穷的时候，V也无穷，所以系统在整个状态空间中是大范围渐近稳定的。
大范围渐近稳定的意义：

2. 判断非线性定常系统稳定性：

平衡状态：[0,0]’。
选择P=I2，李雅普诺夫函数：

导数：

只有在x2=0和x2=-1两条直线上，导数为0，所以V的导数是半负定的。

3. 判断线性定常系统稳定性：

平衡状态：[0,0]’
李雅普诺夫函数：

变化率：

所以平衡状态是不稳定的。
4. 判断线性定常系统稳定性：

唯一平衡状态：原点。
取Q为单位阵，则李方程为：

整理成方程组：

因为P是对称的，所以

从而：

利用西尔韦斯特准则，可以得到：
在这里插入图片描述
所以P是正定的。所以系统是渐近稳定的。
但这里的Q是指定的，按理说要对任意给定的Q都存在P作为方程的解才行啊，不应该用一般的形式来证明吗？不需要，因为既然找到了合适的P，使得V正定，V的变化率负定，那么系统已经是渐近稳定的了。
5. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件：

取Q为单位阵，解李方程：

写成方程组：

考虑P的对称性，解得：

要让P正定，必须满足：

解不等式得到：
在这里插入图片描述
这就是线性定常离散时间系统渐近稳定的充要条件了。这和用离散时间系统稳定性代数判据得到的结论是一样的。