方向导数(Directional derivatives)

方向导数(Directional Derivatives)

提到方向导数，我们先来回顾一下导数(Derivative)和偏导数(Partial Derivative)的几何意义。

• 导数是二维平面中，曲线上某一点沿着x轴方向变化的速率，即函数$f(x)$在该点的斜率；
• 偏导数是在三维空间中，曲面上某一点沿着x轴方向或y轴方向变化的速率，即$\frac{\partial f}{\partial x}\text{是函数}f(x,y)$沿着x轴方向的变化率，$\frac{\partial f}{\partial y}\text{是函数}f(x,y)$沿着y轴方向的变化率（坡度）；

如图所示，$\frac{\partial f}{\partial x}$表示直线L2所在的斜率，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示直线L1所在的斜率。

偏导数$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$反映的是曲面$z=f(x,y)$上的点$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$，沿x轴和y轴方向的坡度。

• 方向导数是在三维空间中，曲面上某一点沿着任一方向的变化率（坡度）；

设二元函数$z=f(x,y),M_0(x_0,y_0),$单位向量 $\vec{l}=(cos\alpha ,cos\beta )$，其中$cos\alpha ,cos\beta$为方向余弦，$\alpha ,\beta$分别为$l$与x轴、y轴的夹角；$M(x_0+\rho cos\alpha ,y_0+\rho cos\beta )$

如上图，点$M_0$沿着$\vec{l}$所在的方向移动，到达$M$，其中 $\overrightarrow{M_{0}M}=\rho \cdot \vec{l};\Delta x=\rho \cdot cos\alpha ;\Delta y=\rho \cdot cos\beta ;$

如下图所示，在三维空间中：

其中${\Delta }_z=f(x_0+\rho cos\alpha ,y_0+\rho cos\beta )-f(x_0,y_0)$为函数$f(xy)$沿方向$\vec{l}$所产生的增量；故$\frac{{\Delta }_z}{\rho }$表示沿方向$\vec{l}$的平均变化率，且当$\rho$趋于0时，$\frac{{\Delta }_z}{\rho }$表示函数$f(x,y)$在点$f(x_0,y_0)$处沿方向$\vec{l}$的方向导数

方向导数定义：

函数 z = f ( x , y ) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 处，沿方向 l ⃗ = { c o s α , c o s β } 的方向导数： z=f(x,y)\text{在点}M_0(x_0,y_0)\text{处，沿方向}\vec{l}=\{cos\alpha,cos\beta\}\text{的方向导数：} z=f(x,y)在点M0​(x0​,y0​)处，沿方向l
={
cosα,cosβ}的方向导数：

$$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\rho cos\alpha ,y_0+\rho cos\beta )-f(x_0,y_0)}{\rho },(\rho >0)$$

通俗的说就是，$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$是曲面$z=f(x,y)\text{在点}{M}_0(x_0,y_0)\text{处，沿方向}\vec{l}\text{的倾斜程度（坡度），如下图：}$

方向导数与偏导数的关系：

若偏导数 ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y 存在，则有： { ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ l ⃗ , 其中 l ⃗ = { 1 , 0 } ，即沿着x轴方向 ∂ f ∂ y = ∂ f ∂ l ⃗ , 其中 l ⃗ = { 0 , 1 } ，即沿着y轴方向 \text{若偏导数}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\text{存在，则有：} \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial \vec{l}},\text{其中}\vec{l}=\{1,0\}\text{，即沿着x轴方向} \\ \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial \vec{l}},\text{其中}\vec{l}=\{0,1\}\text{，即沿着y轴方向} \\ \end{cases} 若偏导数∂x∂f​,∂y∂f​存在，则有：{
∂x∂f​=∂l
∂f​,其中l
={
1,0}，即沿着x轴方向∂y∂f​=∂l
∂f​,其中l
={
0,1}，即沿着y轴方向​

注：方向导数是单向导数，因为$\rho >0$；而偏导数是双向导数，因为${\Delta }_x,{\Delta }_y$可正可负。因此，在一点处沿x轴或y轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在。

例：求函数$z=\sqrt{x^2+y^2}$在原点沿任何方向的方向导数

设方向向量 l ⃗ = { c o s α , c o s β } \vec{l}=\{cos\alpha,cos\beta\} l
={
cosα,cosβ}，则根据定义有：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}& =\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\rho cos\alpha ,y_0+\rho cos\beta )-f(x_0,y_0)}{\rho }\\ & =\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{f(\rho cos\alpha ,\rho cos\beta )-f(0,0)}{\rho }\\ & =\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{\sqrt{{\rho }^{2}co{s}^2\alpha +{\rho }^{2}co{s}^2\beta }-0}{\rho }(\rho >0)\\ & =1\end{array}$$

所以函数$z=\sqrt{x^2+y^2}$在原点沿任何方向的方向导数均为1。

但是， $z=\sqrt{x^2+y^2}$在原点的两个偏导数都不存在。

方向导数存在的条件和计算公式：

定理：如果函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$处可微分，则函数在该点沿任意一方向$l$的方向导数都存在，并且：
∂ f ∂ l ⃗ = ∂ f ∂ x ⋅ c o s α + ∂ f ∂ y ⋅ c o s β ;   l ⃗ = { c o s α , c o s β } 为单位向量 \frac{\partial f}{\partial\vec{l}}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot cos\beta;\text{ }\vec{l}=\{cos\alpha,cos\beta\}\text{为单位向量} ∂l
∂f​=∂x∂f​⋅cosα+∂y∂f​⋅cosβ; l
={
cosα,cosβ}为单位向量

若$\vec{l}$不是单位向量，则$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=gradf\cdot \frac{\vec{l}}{|\vec{l}|};$
易知向量$\vec{b}$在向量$\vec{a}$上的投影$Pro{j}_a^b=\vec{b}\cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$，立即推：
$$\text{方向导数}\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\text{是梯度}gradf\text{在向量}\vec{l}\text{上的投影}$$

三元函数的方向导数：

三元函数 u = f ( x , y , z ) 在点 ( x , y , z ) 沿方向 l ⃗ = { c o s α , c o s β , c o s γ } 的方向导数： u=f(x,y,z)\text{在点}(x,y,z)\text{沿方向}\vec{l}=\{cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\}\text{的方向导数：} u=f(x,y,z)在点(x,y,z)沿方向l
={
cosα,cosβ,cosγ}的方向导数：
∂ f ∂ l ⃗ = ∂ f ∂ x ⋅ c o s α + ∂ f ∂ y ⋅ c o s β + ∂ f ∂ z ⋅ c o s γ = { ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z } ⋅ { c o s α , c o s β , c o s γ } \frac{\partial f}{\partial\vec{l}}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot cos\beta+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot cos\gamma=\{\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\} \cdot\{cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\} ∂l
∂f​=∂x∂f​⋅cosα+∂y∂f​⋅cosβ+∂z∂f​⋅cosγ={
∂x∂f​,∂y∂f​,∂z∂f​}⋅{
cosα,cosβ,cosγ}

本内容整理自徐小湛老师《高等数学》视频（链接戳此处）