样本均值的期望等于总体期望，样本方差的期望等于总体方差。

全栈程序员-站长 • 2026年3月19日上午9:14 • 未分类 • 阅读 2

样本均值的期望等于总体期望，样本方差的期望等于总体方差。设为总体的一个样本且其样本均值为样本方差为总体方差为总体期望为证明 1 为什么样本均值的期望等于总体的期望因为对于简单随机抽样的样本与总体是同分布的所以各样本的期望均为总体期望证明 2 为什么样本均值的方差等于证明 3 为什么样本方差的期望等于总体的方差因为方差的性质可知则所以又因为故

设 $\left \{ x_1,x_2,x_3......x_n \right \}$ ，为总体的一个样本，且其样本均值为 $\overline{X}$ ，样本方差为 $S^{2}$ ，总体方差为σ²，总体期望为μ。

证明1：为什么样本均值的期望等于总体的期望?

因为对于简单随机抽样的样本：

x_1,x_2,x_3...x_n 与总体是同分布的，所以各样本的期望均为总体期望。

$E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_i)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot E(X)=\mu$

证明2：为什么样本均值的方差等于 $\frac{ \sigma^2}{ n}$ ？

$D(\bar{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(x_i)=\frac{\sigma ^2}{n}$

证明3：为什么样本方差的期望等于总体的方差？

$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2$

$E(S^2)=E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2)=\frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2)$

$=\frac{1}{n-1}E[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+n\bar{X^2}-2(x_1+x_2+\cdots +x_n)\bar{X}]$

$=\frac{1}{n-1}E(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-n\bar{X^2})$

因为方差的性质可知： $\large D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)$

则： $E(X^{2})=D(X)+E^2(X)=D(X)+E^2(X)=\sigma ^2+\mu ^2$

所以： $E(S^2)=\frac{1}{n-1}\times [n(\sigma ^2+\mu ^2)-nE(\bar{X^2})]$

又因为： $E(\bar{X^2})=D(\bar X)+E^2(\bar X)=\frac{\sigma ^2}{n}+\mu ^2$

故： $E(S^2)=\sigma ^2$

版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容，请联系我们举报，一经查实，本站将立刻删除。

发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/209443.html原文链接：https://javaforall.net

赞 (0)

0 0

关于作者

全栈程序员-站长

133.5K 文章

3 粉丝

本网站汇聚当前互联网主流语音，持续更新，欢迎关注公众号“全栈程序员社区”

javascript运动系列第二篇——变速运动

上一篇 2026年3月19日上午9:13

微信小程序云开发入门详细教程

下一篇 2026年3月19日上午9:14

java必背代码_20个常用java代码段

java必背代码_20个常用java代码段下面是 20 个非常有用的 Java 程序片段希望能对你有用 1 字符串有整型的相互转换 Stringa String valueOf 2 integertonum Integer parseInt a numericstrin 向文件末尾添加内容 BufferedWrit null try o

全栈程序员-站长
2026年3月18日
2
Eclipse乱码问题最全解决方案「建议收藏」

Eclipse乱码问题最全解决方案「建议收藏」Windows>>Pereferences>>General>Editors>>Spelling>>Encoding选项下选择other，然后输入”UTF-8″随workspace编码改变，可以一个个选项设置，也可以直接设置workspace,但有的也默认是iso8859-1，仅仅设置workspace还不能解决问题将别人的项目或JAVA文件导入到自己的Eclipse中时，常常会出现JAVA文件的中文注释变成乱码的情况，主要原因就是别人的I…

全栈程序员-站长
2022年5月26日
37
回调金字塔是什么意思_回调地狱

回调金字塔是什么意思_回调地狱如果你想阅读体验更好可以戳链接回调地狱前言从前一文中你真的了解回调我们已知道回调函数是必须得依赖另一个函数执行调用它是异步执行的也就是需要时间等待典型的例子就是 Ajax 应用比如 http 请求在不刷新浏览器的情况下当你执行 DOM 事件时比如页面上点击某链接回车等事件操作浏览器会悄悄向服务端发送若干 http 请求携带后台可识别的参数等待服务器响应返回数据这个过程是异步回调的当许多

全栈程序员-站长
2026年3月19日
1
第一章语音信号处理概述

第一章语音信号处理概述一、语音交互语音交互(VUI:VoiceUserInterface)是指人与人或者人与设备通过自然语音进行信息传递的过程。语音交互的优势输入效率高：相对于键盘输入，语音输入的速度是传统输入方式的3倍以上(有权威统计分析得到的数据)。语音检索效率高；可跨空间，也称为远程语音交互，至少一米以上；指令可组合，比如：看一部周星驰的电影，评分8分以上。解放双手和双眼，更安全：如车载系统的语音点播和语音导航场景(不可能一般用手开车，一边用手点播音乐)；比如医疗场景，医生可以一边动手术，一边口语记录病.

全栈程序员-站长
2022年5月9日
44
c语言rand函数生成随机数,详解C语言生成随机数rand函数的用法[通俗易懂]

说到rand函数，大家是不是会和EXCEL中的rand函数混淆，当小编第一次接触的时候也以为是EXCEL的函数，本文是爱站技术频道小编为大家带来的详解C语言生成随机数rand函数的用法，一起来看看吧！函数rand()是真正的随机数生成器，而srand()会设置供rand()使用的随机数种子。如果你在第一次调用rand()之前没有调用srand()，那么系统会为你自动调用srand()。而使用同种子…

全栈程序员-站长
2022年4月18日
49
虚拟机VMware 运行不了系统的常见2个问题

虚拟机VMware 运行不了系统的常见2个问题

全栈程序员-站长
2022年3月7日
224

发表回复

关注全栈程序员社区公众号