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1、拉氏变换定义
拉普拉斯变换是一种将时域运算转变为复域下进行研究的方法，拉普拉斯变换的定义是：
如果在时域下有函数 f ( t ) f(t) f(t)，则它的拉氏变换定义为： F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=L[f(t)]=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdt其中，F(s)叫做象函数，f(t)叫做象原函数。
2、拉氏变换性质
2.1 线性性
如果 L [ f 1 ( t ) ] = F 1 ( s ) ， L [ f 2 ( t ) ] = F 2 ( s ) L[f_{1}(t)]=F_{1}(s)，L[f_{2}(t)]=F_{2}(s) L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)那么 L [ C 1 f ( t ) + C 2 f ( t ) ] = C 1 F 1 ( s ) + C 2 F 2 ( s ) L[C_{1}f(t)+C_{2}f(t)]=C_{1}F_{1}(s)+C_{2}F_{2}(s) L[C1f(t)+C2f(t)]=C1F1(s)+C2F2(s)
2.2 微分定理
如果 f ( t ) f(t) f(t) 可微，且 L [ f ( t ) ] = F ( s ) L[f(t)]=F(s) L[f(t)]=F(s)那么 L [ d f ( t ) d t ] = s F ( s ) − f ( 0 − ) L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0_{-}) L[dtdf(t)]=sF(s)−f(0−)推广下去，如果 f ( t ) f(t) f(t)二阶可微，那么 L [ d 2 f ( t ) d t 2 ] = s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − ) L[\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}]=s^{2}F(s)-sf(0_{-})-f^{‘}(0_{-}) L[dt2d2f(t)]=s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)如果 f ( t ) f(t) f(t)是 n n n阶可微，那么 L [ d n f ( t ) d t n ] = s n F ( s ) − ∑ i = 0 n − 1 s n − i − 1 f ( i ) ( 0 − ) L[\frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}}]=s^{n}F(s)-\sum_{i=0}^{n-1}{s^{n-i-1}f^{(i)}(0_{-})} L[dtndnf(t)]=snF(s)−i=0∑n−1sn−i−1f(i)(0−)特别地，如果 f ( t ) f(t) f(t)是 0 + 0^{+} 0+时刻加入到系统上，系统是零初始状态，那么有 L [ d n f ( t ) d t n ] = s n F ( s ) L[\frac{d^{n}f(t)}{dt^{n}}]=s^{n}F(s) L[dtndnf(t)]=snF(s)
2.3 延迟定理
如果 L [ f ( t ) ] = F ( s ) L[f(t)]=F(s) L[f(t)]=F(s)，那么 L [ f ( t − t 0 ) ] = F ( s ) e − s t 0 L[f(t-t_{0})]=F(s)e^{-st_{0}} L[f(t−t0)]=F(s)e−st0控制系统中， e − s τ e^{-s\tau} e−sτ叫做延时环节。
2.4 位移定理
如果 L [ f ( t ) ] = F ( s ) L[f(t)]=F(s) L[f(t)]=F(s)，那么 L [ f ( t ) e a t ] = F ( s − a ) L[f(t)e^{at}]=F(s-a) L[f(t)eat]=F(s−a)
2.5 初值定理
如果 L [ f ( t ) ] = F ( s ) L[f(t)]=F(s) L[f(t)]=F(s)，那么 lim t → 0 + f ( t ) = lim s → ∞ s F ( s ) \lim_{t\to0_{+}}f(t)=\lim_{s\to\infty}sF(s) t→0+limf(t)=s→∞limsF(s)
2.6 终值定理
如果 L [ f ( t ) ] = F ( s ) L[f(t)]=F(s) L[f(t)]=F(s)，那么 lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s) t→∞limf(t)=s→0limsF(s)
2.7 卷积定理
如果 L [ f 1 ( t ) ] = F 1 ( s ) ， L [ f 2 ( t ) ] = F 2 ( s ) L[f_{1}(t)]=F_{1}(s)，L[f_{2}(t)]=F_{2}(s) L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)那么 L [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) L[f_{1}(t)*f_{2}(t)]=F_{1}(s)F_{2}(s) L[f1(t)∗f2(t)]=F1(s)F2(s) L [ f 1 ( t ) f 2 ( t ) ] = 1 2 π j F 1 ( s ) ∗ F 2 ( s ) L[f_{1}(t)f_{2}(t)]=\frac{1}{2\pi j}F_{1}(s)*F_{2}(s) L[f1(t)f2(t)]=2πj1F1(s)∗F2(s)
3、常用拉氏变换
| f ( t ) f(t) f(t) | F ( s ) F(s) F(s) |
|---|---|
| δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 1 1 |
| K 1 ( t ) K1(t) K1(t)（ 1 ( t ) 1(t) 1(t)为单位阶跃） | K s \frac{K}{s} sK |
| t n t^{n} tn | n ! s n \frac{n!}{s^{n}} snn! |
| e − a t e^{-at} e−at | 1 s + a \frac{1}{s+a} s+a1 |
| t n e − a t t^{n}e^{-at} tne−at | n ! ( s + a ) n + 1 \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} (s+a)n+1n! |
| s i n ( w t ) sin(wt) sin(wt) | w s 2 + w 2 \frac{w}{s^2+w^2} s2+w2w |
| c o s ( w t ) cos(wt) cos(wt) | s s 2 + w 2 \frac{s}{s^2+w^2} s2+w2s |
| t s i n ( w t ) tsin(wt) tsin(wt) | 2 w s ( s 2 + w 2 ) 2 \frac{2ws}{(s^2+w^2)^2} (s2+w2)22ws |
4、数学上做变换的意义
数学上做“变换”的最大好处就是简化运算，乘法、对数等本质上也都是“变换”。乘法实现的是多个相同的数相加，而对数利用 l n ( a b ) = l n a + l n b ln(ab)=lna+lnb ln(ab)=lna+lnb将乘法运算转化为加法运算。拉氏变换将研究方向从时域转化到频域，其运算过程将微积分运算转化为拉普拉斯算子乘除法运算。对于一个 f ( t ) f(t) f(t)信号施加在零初始状态系统上时，对其对应的 F ( s ) F(s) F(s)每乘以一个 s s s，就相当于对 f ( t ) f(t) f(t)做了一次微分；而每除以一个 s s s，就相当于对 f ( t ) f(t) f(t)做了一次积分。在控制系统中，相当于乘以一个微分环节或积分环节，从而有利于系统建模。
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