【数学建模】元胞自动机

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A 简介

1 历史
最初的元胞自动机是由冯 · 诺依曼在 1950 年代为模拟生物 细胞的自我复制而提出的. 但是并未受到学术界重视.
1970 年, 剑桥大学的约翰 · 何顿 · 康威设计了一个电脑游戏 “生命游戏” 后, 元胞自动机才吸引了科学家们的注意.

1983 年 S.Wolfram 发表了一系列论文. 对初等元胞机 256 种 规则所产生的模型进行了深入研究, 并用熵来描述其演化行 为, 将细胞自动机分为平稳型, 周期型, 混沌型和复杂型.

2 应用

• 社会学: 元胞自动机经常用于研究个人行为的社会性, 流行 现象. 例如人口迁移, 公共场所内人员的疏散, 流行病传播.
• 图形学: 元胞自动机以其特有的结构的简单性, 内在的并行 性以及复杂计算的能力成为密码学中研究的热点方向之一
• 物理学: 在物理学中, 元胞自动机已成功的应用于流体, 磁 场, 电场, 热传导等的模拟. 例如格子气自动机.

3 一维元胞自动机——交通规则
定义：

• 元胞分布于一维线性网格上.
• 元胞仅具有车和空两种状态.
  
  
  
• 元胞状态由周围两邻居决定.

4 二维元胞自动机——生命游戏
定义：

• 元胞分布于二维方型网格上.
• 元胞仅具有生和死两种状态.
  
  
  
• 元胞状态由周围八邻居决定.

5 什么是元胞自动机
离散的系统: 元胞是定义在有限的时间和空间上的, 并且元 胞的状态是有限.
动力学系统: 元胞自动机的举止行为具有动力学特征.
简单与复杂: 元胞自动机用简单规则控制相互作用的元胞 模拟复杂世界.

6 构成要素

• 状态: 每一个元胞都有记忆贮存状态的功能.
• 离散: 简单情况下, 元胞只有两种可能状态; 较复杂情况下, 元胞具有多种状态.
• 更新: 元胞的状态都安照动力规则不断更新.

分类 ：

• 总和型: 某元胞下时刻的状态取决于且仅取决于它所有邻居 的当前状态以及自身的当前状态.
• 合法型: 总和型规则属于合法型规则. 但如果把元胞自动机 的规则限制为总和型, 会使元胞自动机具有局限性.

程序实现
周期性边界条件
购进啊

其中的数字为编号
构建邻居矩阵

% simulate forest fire with cellular automata % zhou lvwen:  % August 15 2010 n = 300; % 定义表示森林的矩阵大小 Plight = 5e-6; Pgrowth = 1e-2; % 定义闪电和生长的概率 UL = [n 1:n-1]; DR = [2:n 1]; % 定义上左，下右邻居 veg=zeros(n,n); % 初始化表示森林的矩阵 imh = image(cat(3,veg,veg,veg)); % 可视化表示森林的矩阵 % veg = 空地为0 着火为1 树木为2 for i=1:3000 sum = (veg(UL,:)==1) + ... (veg(:,UL)==1) + (veg(:,DR)==1) + ... (veg(DR,:)==1); % 计算出所有格子有几个邻居是着火的 % 根据规则更新森林矩阵：是否树=是否树-是否着火的树+是否新生的树（0-1运算） veg = 2*(veg==2) - ... ( (veg==2) & (sum>0 | (rand(n,n) 
  

时空轨迹（横轴是空间纵轴为时间）

1 加速规则：不能超过$v_{max}（2格/s）$
2 防止碰撞：不能超过车距

function [rho, flux, vmean] = ns(rho, p, L, tmax, animation, spacetime) vmax = 5; %最大速度 % place a distribution with density ncar = round(L*rho); % 车数量=L*rho rho = ncar/L; x = sort(randsample(1:L, ncar)); % 从1到L中随机采ncar格样并排序 v = vmax * ones(1,ncar); % 初始化所有车子su'du1为vmax flux = 0; % number of cars that pass through the end vmean = 0; road = zeros(tmax, L); for t = 1:tmax % 加速规则 v = min(v+1, vmax); %防止碰撞 gaps = gaplength(x,L); % 获得每一辆车到前面一辆车的距离 v = min(v, gaps-1); % 随机减速 vdrops = ( rand(1,ncar)
L; % 车走过整个路段 x(passed) = x(passed) - L;% 回到起点 if t>tmax/2 flux = flux + sum(v/L); %平均流量 vmean = vmean + mean(v); end road(t,x) = 1; end flux = flux/(tmax/2); vmean = vmean/(tmax/2); if spacetime; figure;imagesc(road);colormap([1,1,1;0,0,0]);axis image; end % ------------------------------------------------------------------------- function gaps = gaplength(x,L) % 计算车距 ncar = length(x); gaps=zeros(1, ncar); if ncar>0 gaps = x([2:end 1]) -x; % d(i)=x(i+1)-x(i) gaps(gaps<=0) = gaps(gaps<=0)+L; %d(i)=d(i)+L,if d(i)<0 end nsity = 0:0.02:1; roadlength = 100; vmax = 5; tmax = 200; pbrak = 0; flux = []; vmean = []; for rho = density [R, J, V] = ns(rho, pbrak, roadlength, tmax, 0, 0); flux = [flux; J]; vmean = [vmean; V]; end % ------------------------- density vs. volecity -------------------------- figure plot(density, vmean,'k.','markersize',15); hold on plot(density,min(vmax, 1./density-1),'-r','linewidth',2) ylim([0,5.55]) legend({'Cellular automata aproach', ... '$v(\rho) = \min\{v_{\max}, 1/\rho-1\}$'}, ... 'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('velocity in cell/time') % --------------------------- density vs. flux ---------------------------- figure plot(density, flux,'k.','markersize',15); hold on; plot(density,min(density*vmax, 1-density),'-r','linewidth',2) legend({'Cellular automata aproach', ... '$J(\rho) = \min\{\rho\cdot v_{\max}, 1-\rho\}$'}, ... 'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('flux in vehicles/time') 

density = 0:0.02:1; roadlength = 100; vmax = 5; tmax = 200; pbrak = 0; flux = []; vmean = []; for rho = density [R, J, V] = ns(rho, pbrak, roadlength, tmax, 0, 0); flux = [flux; J]; vmean = [vmean; V]; end % ------------------------- density vs. volecity -------------------------- figure plot(density, vmean,'k.','markersize',15); hold on plot(density,min(vmax, 1./density-1),'-r','linewidth',2) ylim([0,5.55]) legend({'Cellular automata aproach', ... '$v(\rho) = \min\{v_{\max}, 1/\rho-1\}$'}, ... 'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('velocity in cell/time') % --------------------------- density vs. flux ---------------------------- figure plot(density, flux,'k.','markersize',15); hold on; plot(density,min(density*vmax, 1-density),'-r','linewidth',2) legend({'Cellular automata aproach', ... '$J(\rho) = \min\{\rho\cdot v_{\max}, 1-\rho\}$'}, ... 'interpreter','latex') xlabel('density in vehicles/cell') ylabel('flux in vehicles/time') 

周吕文 中国科学院力学研究所