一、定义
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，设 x x x为区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一点，考察定积分
∫ a x f ( x ) d x = ∫ a x f ( t ) d t \int _a^xf(x)dx=\int _a^xf(t)dt ∫axf(x)dx=∫axf(t)dt
如果上限 x x x在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上任意变动，则对于每一个取定的 x x x值，定积分 ∫ a x f ( t ) d t \int _a^xf(t)dt ∫axf(t)dt都有一个对应值，所以它在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上定义了一个函数，记为
Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \Phi(x)=\int _a^xf(t)dt Φ(x)=∫axf(t)dt
该函数就是积分上限函数。
二、变限积分函数求导公式
如果函数 f ( x ) f(x) f(x)连续， ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 和 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) − f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x ) \Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x) Φ′(x)=dxd∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)−f[ϕ(x)]ϕ′(x)
[推导过程]
记函数 f ( x ) f(x) f(x)的原函数为 F ( x ) F(x) F(x)，则有
F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)
或
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)dx=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C
则对 Φ ( x ) = ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t \Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt Φ(x)=∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt由牛顿-莱布尼茨公式 ∫ a b f ( x ) = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) \int_a^bf(x)=F(x)|_a^b=F(b)-F(a) ∫abf(x)=F(x)∣ab=F(b)−F(a)可得
Φ ( x ) = ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = F ( x ) ∣ ϕ ( x ) φ ( x ) = F [ φ ( x ) ] − F [ ϕ ( x ) ] \Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=F(x)|_{\phi(x)}^{\varphi(x)}=F[\varphi(x)]-F[\phi(x)] Φ(x)=∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt=F(x)∣ϕ(x)φ(x)=F[φ(x)]−F[ϕ(x)]
由函数和的求导法则
[ u ( x ) ± v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x ) [u(x)\pm v(x)]’=u'(x)\pm v'(x) [u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)
可得
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = { F [ φ ( x ) ] − F [ ϕ ( x ) ] } ′ = { F [ φ ( x ) ] } ′ − { F [ ϕ ( x ) ] } ′ \Phi^{‘}(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=\{F[\varphi(x)]-F[\phi(x)]\}’=\{F[\varphi(x)]\}’-\{F[\phi(x)]\}’ Φ′(x)=dxd∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt={
F[φ(x)]−F[ϕ(x)]}′={
F[φ(x)]}′−{
F[ϕ(x)]}′
三、定理
定理1 如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a ， b ] [a，b] [a，b]上连续，则积分上限函数 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \Phi(x)=\int _a^xf(t)dt Φ(x)=∫axf(t)dt在 [ a ， b ] [a，b] [a，b]上具有导数，且导数为：
Φ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) \Phi^{‘}(x)=\frac{d}{dx}\int _a^xf(t)dt=f(x) Φ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)
四、应用
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