积、商、幂的对数
l o g a M N = l o g a M + l o g a N log_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N logaMN=logaM+logaN的推导过程如下。
证 明 ： 设 l o g a M = p , l o g a N = q 则 a p = M , a q = N ， 代 入 l o g a M N ， 得 l o g a M N = l o g a ( a p ⋅ a q ) = l o g a a p + q = p + q = l o g a M + l o g a N 所 以 ： l o g a M N = l o g a M + l o g a N \begin{array}{ll} 证明：设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\ 则\quad a^p=M,\quad a^q=N ，\quad 代入log_{a}MN，\\ 得 \quad log_{a}MN=log_{a}(a^p\cdot a^q) = log_{a}a^{p+q} = p+q = log_{a}M + log_{a}N \\ 所以：log_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N \end{array} 证明：设logaM=p,logaN=q则ap=M,aq=N，代入logaMN，得logaMN=loga(ap⋅aq)=logaap+q=p+q=logaM+logaN所以：logaMN=logaM+logaN
l o g a M N = l o g a M − l o g a N log_{a}{\Large\frac{M}{N}}= log_{a}M – log_{a}N logaNM=logaM−logaN的推导过程如下。
证 明 ： 设 l o g a M = p , l o g a N = q 则 a p = M , a q = N ， 代 入 l o g a M N ， 得 l o g a M N = l o g a ( a p a q ) = l o g a a p − q = p − q = l o g a M − l o g a N 所 以 ： l o g a M N = l o g a M − l o g a N \begin{array}{ll} 证明：设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\ 则\quad a^p=M,\quad a^q=N ，\quad 代入log_{a}{\frac{M}{N}}，\\ 得 \quad log_{a}{\frac{M}{N}}=log_{a}(\frac{a^p}{a^q}) = log_{a}a^{p-q} = p-q = log_{a}M – log_{a}N \\ 所以：log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M – log_{a}N \end{array} 证明：设logaM=p,logaN=q则ap=M,aq=N，代入logaNM，得logaNM=loga(aqap)=logaap−q=p−q=logaM−logaN所以：logaNM=logaM−logaN
l o g a M b = b ⋅ l o g a M log_aM^b=b\cdot log_aM logaMb=b⋅logaM的推导过程
证 明 ： 设 l o g a M = p 则 a p = M ， 代 入 l o g a M b 得 l o g a M b = l o g a ( a p ) b = l o g a a p b = p b = b ⋅ l o g a M \begin{array}{ll} 证明：设log_aM=p \\ 则a^p=M ，\quad 代入log_aM^b \\ 得log_aM^b=log_a(a^p)^b = log_aa^{pb} = pb = b \cdot log_aM \end{array} 证明：设logaM=p则ap=M，代入logaMb得logaMb=loga(ap)b=logaapb=pb=b⋅logaM
a l o g a M = M a^{log_aM} = M alogaM=M的推导过程
证 明 ： 设 l o g a M = p 则 a p = M ， 代 入 a l o g a M 得 a l o g a M = a l o g a a p = a p = M \begin{array}{ll} 证明：设log_aM=p \\ 则a^p=M ，\quad 代入a^{log_aM} \\ 得a^{log_aM} = a^{log_aa^p} = a^p = M \end{array} 证明：设logaM=p则ap=M，代入alogaM得alogaM=alogaap=ap=M
换底公式
l o g b N = l o g a N l o g a b log_bN=\Large\frac{log_aN}{log_ab} logbN=logablogaN的推导过程如下。
证 明 ： 设 l o g b N = x ， 则 b x = N 两 边 同 时 取 以 a 为 底 的 对 数 l o g a b x = l o g a N x ⋅ l o g a b = l o g a N x = l o g a N l o g a b 所 以 l o g b N = l o g a N l o g a b \begin{array}{ll} 证明：设log_bN=x，则b^x = N \\ 两边同时取以a为底的对数\\ log_a{b^x} = log_aN \\ x\cdot log_ab = log_aN \\ x = \frac{log_aN}{log_ab} \\ 所以log_bN=\frac{log_aN}{log_ab} \end{array} 证明：设logbN=x，则bx=N两边同时取以a为底的对数logabx=logaNx⋅logab=logaNx=logablogaN所以logbN=logablogaN
其他公式
log a n a = 1 n \displaystyle \log_{a^n}a = \frac{1}{n} logana=n1的推导过程
证 明 ： 设 l o g a n a = p 则 ( a n ) p = a 即 a n p = a 两 边 同 时 取 常 数 对 数 , l g a n p = l g a n p ⋅ l g a = l g a , n p = 1 , p = 1 n 所 以 l o g a n a = 1 n \begin{array}{ll} 证明：设 log_{a^n}a = p \\ 则\quad (a^n)^p = a 即 a^{np} = a \\ 两边同时取常数对数,\quad lg{a^{np}}=lg{a} \\ np\cdot lga = lga, \quad np = 1,\quad p = \frac{1}{n} \\ 所以log_{a^n}a = \frac{1}{n} \end{array} 证明：设logana=p则(an)p=a即anp=a两边同时取常数对数,lganp=lganp⋅lga=lga,np=1,p=n1所以logana=n1
1 l o g a b = l o g b a {\Large \frac{1}{log_ab}} = log_ba logab1=logba的推导过程。
这里用换底公式，过程比较简单
1 l o g a b = 1 l g b l g a = l g a l g b = l o g b a \frac{1}{log_ab} = \frac{1}{\frac{lgb}{lga}}=\frac{lga}{lgb}=log_ba logab1=lgalgb1=lgblga=logba
l o g a n M = 1 n ⋅ l o g a M log_{a^n}M = {\Large \frac{1}{n}} \cdot log_aM loganM=n1⋅logaM的推导过程
证 明 ： 设 l o g a M = p 则 a p = M ， 代 入 l o g a n M l o g a n a p = p ⋅ l o g a n a = 1 n ⋅ p = 1 n ⋅ l o g a M 证明：设log_aM = p \\ 则a^p = M，代入log_{a^n}M \\ log_{a^n}a^p=p \cdot log_{a^n}a = \frac{1}{n} \cdot p = \frac{1}{n} \cdot log_aM 证明：设logaM=p则ap=M，代入loganMloganap=p⋅logana=n1⋅p=n1⋅logaM
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