伽马函数
伽马函数的定义为 Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x \Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx其中参数 α > 0 \alpha>0 α>0。伽马函数具有如下性质：
- Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ(1)=1， Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(21)=π。
- Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha) Γ(α+1)=αΓ(α)，当 α \alpha α为自然数 n n n时，有 Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) = n ! \Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n ! Γ(n+1)=nΓ(n)=n!
伽马分布
若随机变量 X X X的密度函数为 p ( x ) = { λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0 , p(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},&x \ge 0,\\ 0,&x < 0,\end{array}\right.\\ p(x)={
Γ(α)λαxα−1e−λx,0,x≥0,x<0,则称 X X X服从伽马分布，记作 X ∼ G a ( α , λ ) X \sim Ga(\alpha,\lambda) X∼Ga(α,λ)，其中 α > 0 \alpha > 0 α>0为形状参数， λ > 0 \lambda >0 λ>0为尺度参数。
伽马分布 G a ( α , λ ) Ga(\alpha,\lambda) Ga(α,λ)的数学期望和方差
利用伽马函数的性质，不难算得伽马分布 G a ( α , λ ) Ga(\alpha,\lambda) Ga(α,λ)的数学期望为 E ( X ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x α e − λ x d x = Γ ( α + 1 ) Γ ( α ) 1 λ = α λ \mathbb{E}(X)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma (\alpha)}\int_0^\infty x^\alpha e^{-\lambda x}dx=\frac{\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda} E(X)=Γ(α)λα∫0∞xαe−λxdx=Γ(α)Γ(α+1)λ1=λα又因为 E ( X 2 ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x α + 1 e − λ x d x = Γ ( α + 2 ) λ 2 Γ ( α ) = α ( α + 1 ) λ 2 \mathbb{E}(X^2)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int ^{\infty}_0x^{\alpha+1}e^{-\lambda x}dx=\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\lambda^2\Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2} E(X2)=Γ(α)λα∫0∞xα+1e−λxdx=λ2Γ(α)Γ(α+2)=λ2α(α+1)由此得 X X X的方差为 V a r ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = α ( α + 1 ) λ 2 − ( α λ ) 2 = α λ 2 \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}-\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)^2=\frac{\alpha}{\lambda^2} Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=λ2α(α+1)−(λα)2=λ2α
伽马分布的两个特例
指数分布： α = 1 \alpha=1 α=1时的伽马分布就是指数分布，即 G a ( 1 , λ ) = exp ( λ ) Ga(1,\lambda)=\exp(\lambda) Ga(1,λ)=exp(λ)
卡方分布：称 α = n / 2 \alpha=n/2 α=n/2， λ = 1 / 2 \lambda=1/2 λ=1/2时的伽马分布是自由度 n n n的 X 2 \mathcal{X}^2 X2（卡方）分布，记为 X 2 ( n ) \mathcal{X}^2(n) X2(n)，即 G a ( n 2 , 1 2 ) = X 2 ( n ) , Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})=\mathcal{X}^2(n), Ga(2n,21)=X2(n),其密度函数为 p ( x ) = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) e − n 2 x n 2 − 1 , x > 0 0 , x ≤ 0 p(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}e^{-\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}-1},&x>0\\0,&x \le 0\end{array}\right. p(x)={
22nΓ(2n)1e−2nx2n−1,0,x>0x≤0这里 n n n是 X 2 \mathcal{X}^2 X2分布的唯一参数，称为自由度，它可以是正实数。因为 X 2 \mathcal{X}^2 X2分布是特殊的伽马分布，故由伽马分布的期望和方差，很容易得到 X 2 \mathcal{X}^2 X2分布的期望和方差为 E ( X ) = n , V a r ( X ) = 2 n . \mathbb{E}(X)=n,\mathrm{Var}(X)=2n. E(X)=n,Var(X)=2n.
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