@算法简介
Grover算法是相较于经典数据库搜索算法 O ( n ) O(n) O(n)复杂度实现二次加速的量子算法，即复杂度为 O ( N ) O(\sqrt{N}) O(N)。
算法本质
Grover算法实质上是求解函数的逆问题的量子算法，即给定计算函数 y = f 1 ( x ) y=f_1(x) y=f1(x)的黑盒（Orcale算子）和已知 y 0 y_0 y0,去求使函数满足 f 1 ( x ) = y 0 f_1(x)=y_0 f1(x)=y0的自变量 x x x的值。
算法步骤：
该算法使用两个寄存器，第一个寄存器存储了n个量子比特，第二个寄存器是Oracle的工作空间。
量子态的制备
Step 1：初始化量子态，制备 ∣ 0 ⟩ ⨂ n |0\rangle^{\bigotimes n} ∣0⟩⨂n作为量子系统的初始状态。
Step 2: 第一步的结果使用H门变换为 H ⨂ n H^{\bigotimes n} H⨂n
Step 3：实施酉变换。首先，对前n量子比特实施H门变换，使其变成均衡叠加态 ∣ ψ ⟩ = 1 N ∑ x = 0 N − 1 ∣ x ⟩ |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N-1}|x\rangle ∣ψ⟩=N1∑x=0N−1∣x⟩,其中 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩包含函数逆问题解的状态 ∣ ψ 0 ⟩ |\psi_{0} \rangle ∣ψ0⟩和非函数逆问题解的状态空间 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_{1} \rangle ∣ψ1⟩。
1. 应用G迭代算子，分为四步
1.1 Oracle黑盒子的制备阶段（举例说明，此处的Oracle算子设置较为简单，实际环境设置复杂得多）
y = f 1 ( x ) y=f_1(x) y=f1(x)
∣ 00 ⟩ → 0 |00\rangle\rightarrow0 ∣00⟩→0 ∣ 01 ⟩ → 0 |01\rangle\rightarrow0 ∣01⟩→0
∣ 01 ⟩ → 1 |01\rangle\rightarrow1 ∣01⟩→1 ∣ 11 ⟩ → 0 |11\rangle\rightarrow0 ∣11⟩→0
此处只有 ∣ 01 ⟩ |01\rangle ∣01⟩使得 f 1 ( x ) = 1 f_1(x)=1 f1(x)=1 ,其余态都为0，则Grover迭代的目标解为 ∣ 01 ⟩ |01\rangle ∣01⟩。
1.2 对量子态制备阶段的叠加状态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩应用Oracle操作,查找叠加状态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩是否存在函数逆问题解状态。如果存在这个状态，标记这个状态，标记过程为步骤1.3
1.3 实施条件相位移操作，使状态 ∣ 01 ⟩ |01\rangle ∣01⟩状态获得-1的相位
∣ x ⟩ → ( − 1 ) f ( x ) ∣ x ⟩ |x\rangle \rightarrow(-1)^{f(x)}|x\rangle ∣x⟩→(−1)f(x)∣x⟩
设计一个矩阵（等同于Oracle算子），使得对叠加态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ 中使得 f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1的 x x x添加一个负相位（ps做标记），这一步等同于Grover算法的Oracle算子部分
1.4 完成上述过程，对n个量子比特实施H门变换 H ⨂ n H^{\bigotimes n} H⨂n
一轮迭代完成， G迭代算子整体状态变化过程为：
H ⨂ n ( 2 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ − I ) H ⨂ n = 2 ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ − I H^{\bigotimes n}(2|0\rangle \langle0|-I)H^{\bigotimes n}=2|\psi\rangle\langle\psi|-I H⨂n(2∣0⟩⟨0∣−I)H⨂n=2∣ψ⟩⟨ψ∣−I
即G迭代算子作用是
（ 2 ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ − I ） O （2|\psi \rangle\langle\psi|-I）O （2∣ψ⟩⟨ψ∣−I）O,（
O O O是Oracle算子）
解空间
即 O = I − 2 ∣ τ ⟩ ⟨ τ ∣ O=I-2|\tau\rangle\langle\tau| O=I−2∣τ⟩⟨τ∣,状态 τ \tau τ是函数逆问题的解状态。
M是 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩中隐藏的解的个数，N= 2 n 2^n 2n,计算下列偏转角公式，计算出最优的迭代次数
sin θ / 2 = 2 M / N \sin \theta/2=2\sqrt{M/N} sinθ/2=2M/N ，
cos θ / 2 = 2 N − M / N \cos \theta/2=2\sqrt{N-M/N} cosθ/2=2N−M/N
最终 ∣ ψ ⟩ = N − M N ∣ α ⟩ + M N ∣ β ⟩ |\psi\rangle=\sqrt{\frac{N-M}{N}}|\alpha\rangle+\sqrt{\frac{M}{N}}|\beta\rangle ∣ψ⟩=NN−M∣α⟩+NM∣β⟩
下面是我写的Matlab代码块
h=1/sqrt(2)*[1 1;1 -1]; %哈达玛门 I=[1 0;0 1]; %单位矩阵I 创建单位矩阵的函数eye(N) x1=[0 1;1 0]; i2=[0;1;0;0;0;0;0;0]; i1=[0;0;0;0;1;0;0;0]; oracle=(eye(8)-2*kron(i2',i2)-2*kron(i1',i1)); %简单设置设置的oracle算子 c1=kron(h,I); c1=kron(c1,I); c2=kron(I,h); c2=kron(c2,I); c3=kron(I,I); c3=kron(c3,h); H=c1*c2*c3; %用做每一个qubit的H门变换 较繁琐 i=H*i0; %制备好的待测状态 k4=2*kron(i0',i0)-eye(8); Us=H*k4*H; G=Us*oracle; %Us算子和oracle算子 ix=G*H*i0; 发布者：全栈程序员-站长，转载请注明出处：https://javaforall.net/212230.html原文链接：https://javaforall.net
