向量投影
力的正交分解就是投影，高中时一般向坐标轴投影，有时也需计算力在任意方向分量，即力在这个方向的投影，可通过内积计算。但有时需要计算力在某个平面内的分量，即力在平面内的投影，或者计算力垂直于某平面的分量，都可通过投影解决。
几何上，也经常涉及投影，如点到直线或平面的距离，此距离是点到直线或平面的最短距离，求此距离可通过投影解决。
再举个例子，为什么称为“投影”，投影就是物体在太阳光的照射下在地面形成的影子。当太阳光与地面垂直时是正投影，这就是线性代数中研究的投影。当物体与地面垂直时，影子长度（投影）为0。中国古时利用投影来计时，发明了日晷。希望读者根据物理学和几何学，获得投影的几何图像。
当转向高维空间时，投影不局限于低维子空间，可投向任意维度的子空间，所以需要代数方法，但理解需要几何图像。向量在子空间的投影，本质上是向量的正交分解，分解为两个向量：一个向量位于子空间，另一个位于其正交补空间。
子空间 S 1 S_1 S1 由无关组 V = ( v 1 , ⋯ , v n ) V = (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}) V=(v1,⋯,vn) 张成，如何求任意向量 v \mathbf{v} v 在子空间的投影向量呢？这是线性代数基本问题之一，也是理解线性方程的核心之一，必须十分重视。
投影向量位于子空间 S 1 S_1 S1 内，故其可表示为生成向量的线性组合，这是解决问题的关键一步，令投影向量为 v ⊥ = α 1 v 1 + ⋯ + α n v n \mathbf{v}^{\bot} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n} v⊥=α1v1+⋯+αnvn ，只要算出表示系数组就可得到投影向量。另一正交分量 v − = v − v ⊥ \mathbf{v}^{-} = \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} v−=v−v⊥ 位于正交补空间 S 1 ⊥ S_1^{\bot} S1⊥ ，垂直子空间 S 1 S_1 S1 内任意向量。故两个分向量垂直，内积为零！这是关键第二步。
0 = ( v ⊥ , v − ) = ( v ⊥ , v − v ⊥ ) = ( v ⊥ , v ) − ( v ⊥ , v ⊥ ) 得 ： ( v ⊥ , v ) = ( v ⊥ , v ⊥ ) 得 ： ( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n , v ) = ( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n , α 1 v 1 + ⋯ + α n v n ) = ∑ i j α i α j ( v i , v j ) 0 = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{-}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) – (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot})\\ 得：(\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}^{\bot}, \mathbf{v}^{\bot}) \\ 得：(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) =(\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n},\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n})=\sum_{ij}\alpha_i\alpha_j(\mathbf{v_i},\mathbf{v_j}) 0=(v⊥,v−)=(v⊥,v−v⊥)=(v⊥,v)−(v⊥,v⊥)得：(v⊥,v)=(v⊥,v⊥)得：(α1v1+⋯+αnvn,v)=(α1v1+⋯+αnvn,α1v1+⋯+αnvn)=ij∑αiαj(vi,vj)
根据正交分解的唯一性， v ⊥ \mathbf{v}^{\bot} v⊥ 是唯一的，根据无关组表示向量的唯一性，表示系数组存在且唯一。无关组是任意向量时，利用向量理论很难表示出表示系数，必须用矩阵理论才能方便表示。
无关组是标准正交基时，却很容易求出表示系数。 根据标准正交基性质： ( v i , v j ) = 0 , ∀ i ≠ j ; = 1 ， ∀ i = j (\mathbf{v_i},\mathbf{v_j})=0,\forall i\ne j; \quad =1 ，\forall i= j (vi,vj)=0,∀i=j;=1，∀i=j 。代入上式，
( α 1 v 1 + ⋯ + α n v n , v ) = α 1 ( v 1 , v ) + ⋯ + α n ( v n , v ) = α 1 2 + ⋯ + α n 2 (\alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})+\cdots+\alpha_n(\mathbf{v_n}, \mathbf{v}) = \alpha_1^2+\cdots+\alpha_n^2 (α1v1+⋯+αnvn,v)=α1(v1,v)+⋯+αn(vn,v)=α12+⋯+αn2
显然当 α i = ( v i , v ) , ∀ i ∈ [ 1 , n ] \alpha_i = (\mathbf{v_i}, \mathbf{v}), \forall i \in [1,n] αi=(vi,v),∀i∈[1,n] 时，等式恒成立！故投影向量为：
v ⊥ = ( v 1 , v ) v 1 + ⋯ + ( v n , v ) v n \mathbf{v}^{\bot}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_n}, \mathbf{v})\mathbf{v_n} v⊥=(v1,v)v1+⋯+(vn,v)vn
标准正交基可以看作坐标轴，向量与坐标轴的内积就是向量在该轴方向的分量（坐标值），子空间内所有坐标轴方向的分量相加就是投影！
特别重要的特例，当子空间就是整个空间时，显然投影向量就是向量本身，得：
重要性质 m m m 维空间任意向量 v \mathbf{v} v 与标准正交基 V V V 的正交分解：
v = ( v 1 , v ) v 1 + ⋯ + ( v m , v ) v m \mathbf{v}=(\mathbf{v_1}, \mathbf{v})\mathbf{v_1}+\cdots+(\mathbf{v_m}, \mathbf{v})\mathbf{v_m} v=(v1,v)v1+⋯+(vm,v)vm
这就是物理学中的正交分解！得到最简基节同样结论。
下面证明垂线距离最短，几何上就是直角三角形斜边长度大于直角边，线性代数也是这样证明的。假设子空间 S 1 S_1 S1 内任意向量 u \mathbf{u} u ，向量 v \mathbf{v} v 分解为 v = u + w \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{w} v=u+w ，则向量 w \mathbf{w} w 是斜边，向量 v − v ⊥ \mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot v−v⊥ 是垂线，请想象出二维点到直线距离，三维点到平面距离的图像。
∥ w ∥ 2 = ∥ v − u ∥ 2 = ∥ ( v − v ⊥ ) + ( v ⊥ − u ) ∥ 2 = ∥ ( v − v ⊥ ) ∥ 2 + ∥ ( v ⊥ − u ) ∥ 2 ≥ ∥ ( v − v ⊥ ) ∥ 2 \|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}-\mathbf{u}\|^2=\|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot) + (\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 = \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2 + \|(\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u})\|^2 \ge \|(\mathbf{v}-\mathbf{v}^\bot)\|^2 ∥w∥2=∥v−u∥2=∥(v−v⊥)+(v⊥−u)∥2=∥(v−v⊥)∥2+∥(v⊥−u)∥2≥∥(v−v⊥)∥2
向量 v − v ⊥ \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} v−v⊥ 位于正交补空间 S 1 ⊥ S_1^{\bot} S1⊥ ，垂直子空间内任意向量，向量 ( v ⊥ , u ) (\mathbf{v}^\bot,\mathbf{u}) (v⊥,u) 位于子空间内，故 v − v ⊥ \mathbf{v}-\mathbf{v}^{\bot} v−v⊥ 垂直 ( v ⊥ − u ) (\mathbf{v}^\bot-\mathbf{u}) (v⊥−u) ，根据勾股定理，得到中间等式。
向量投影有个应用，就是判断向量是否位于子空间内？如果向量等于子空间投影，则向量位于子空间内。子空间内的向量能被子空间的生成向量组表示。
向量投影的这两个性质对于理解线性方程很关键，特别是最小二乘法。
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