什么是代数
1. 从“al-jabr”到”algebra”
一些回答提到，“代数”就是用字母代替数。实际上，“代数”这个词翻译自拉丁文algebra，algebra又源于阿拉伯语。
到了14世纪，“al-jabr”演变为”algebra”。之后，“wa’l-muqābala”逐渐被人忘记，而这门学科也就被简称为“algebra”。
由此可见，从词源的角度来说，“algebra”的本义是还原与对消，这门学科研究的是解方程的方法。
花拉子米的《还原与对消计算概要》有一个缺点：完全没有代数符号。一切算法都用文字语言来表达。这本重要的代数学著作却不具备“代数”的特征，今天看来也是有趣。
2. 从“algebra”到“代数”
虽然花拉子米的代数学没有使用符号，但在他之前已经有人将符号引入代数运算。希腊数学家丢番图（250年前后）在《算术》中采用了一套符号表示未知数，并发明了一种记法来写方程式。他使用的符号和记法跟今天有很大不同，但他是用符号表示未知数和方程式的先驱。法国数学家韦达在《分析引论》（1591）中第一次有意识地使用代数字母和符号。笛卡尔在《几何学》（1637）中以a、b、c、d……表示已知量，以x、y、z、w……表示未知量，改进了韦达的符号。至此，代数的符号体系已经比较接近今天我们看到的样子。
尽管贡献代数学名称的花拉子米不会使用符号，用符号代替数还是代数的基本特征。
第一个用“代数”指称这一学科的是英国人Wylie。1847年，他到上海学习中文，后来用汉语写了一本《数学启蒙》（1853），介绍西方的数学。序中说：“有代数、微分诸书在，余将续梓之。”
1859年，清代数学家李善兰和Wylie合译英国德·摩根的《Elements of Algebra》（1835），定名《代数学》。“代数”从此成为这门学科的正式中文名称。
1873年，华蘅芳和英国人Fryer合译英国Wallis的《代数术》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可任以何记号代之”。这解释了“代数”之名的由来：用符号代替数。
3. 代的不光是数
初中数学中，用字母表示数是从算术到代数的第一次飞跃。到了高中我们发现，字母不光能表示数，还能表示平面向量！
如果只是能用字母表示，倒没有什么稀奇。毕竟我们早就在平面几何中用字母表示点和直线了。稀奇的是，这货不光能用字母表示，还能进行加、减、数乘和点乘的运算。这些运算和实数的运算似乎有相同的地方，似乎又有些不同。
再往后，我们在立体几何中学习了空间向量。这一点都不奇怪。我们继续沿用平面向量中学到的规则，熟练地对它们做加、减、数乘和点乘运算。
尽管在中学数学中向量是以几何形式引进的，然而当你的眼睛离开图形盯着代数式，开始对它们加加减减时，它就已经属于代数了。代数，代的不光是数。
4. 从数与数之异到“数”与“数”之同
现在把目光集中在数上。从自然数到整数，再到有理数，每一次数系的扩充都伴随着一种运算能力的解放。从自然数到整数，减法不再受限制；从整数到有理数，除法不再受限制。（从有理数到实数有点复杂，扩展的不是简单的加减乘除运算，属于分析领域了）
数与数的不同，不单纯表现在元素的区别，还表现在其中不受限制之运算的区别。
回头看向量。学会平面向量的代数运算后，空间向量的代数运算没有任何困难，因为它们完全遵循相同的规则。进一步，当我们只考虑加法、减法和数乘运算时，对向量进行代数运算并不需要额外学习，因为它们和以前学过的运算也遵循相同的规则！
为了说得更清楚，我举一个例子。![[公式]](https://javaforall.net/wp-content/uploads/2020/11/2020110817443450.jpg)
如果不加说明，谁能分清这里的a、b表示的是实数、平面向量还是空间向量？
因为实数、平面向量和空间向量三者的运算规则相同，都遵循加法的交换律、结合律，以及数乘对加法的分配律。上面的每一步运算都没有违背规则。所以，这里的a、b既可以是实数，也可以是平面向量，还可以是空间向量。于是，学会三者之中任意一种的运算，也就学会了另外两种。
既然如此，运算对象具体是什么已经不重要了。重要的是能对它做什么运算，以及这些运算遵循什么运算律。这时，代数所代之“数”就不是狭义的数，而是具有某些运算并满足某些运算律的一些对象了。
5. 从历史的代数到发展的代数
“Algebra”的本义是还原与对消，引申为方程术。从历史来看，代数学是对得起这个名称的。直到19世纪初，研究代数方程的解法仍是代数学的全部内容。
19世纪，对五次和五次以上代数方程一般解的研究引入了群和域的概念。群和域都是具有某些运算并满足某些运算律的对象集合。自此，代数学的研究不再局限于代数方程，更多地把眼光放在了各种抽象对象的运算关系上。
“代数”义为用符号代替数，本质上是一个抽象过程：从具体的、确定的数到抽象的、未定的数。这是第一步抽象。当我们把注意力集中于所研究对象的运算和运算律，而忽略所代之“数”的具体类别时，完成了进一步的抽象。
19世纪中叶的Wylie和李善兰在敲定《代数学》之名时恐怕没有想到，代表方程术的“algebra”其时正在化蛹，代表抽象的“代数”如今已然成蝶。21世纪初的我们在思考代数是什么时，恐怕也难以想见未来的代数学会迎来怎样的新生。
参考文献 \[1\]李文林. 数学史教程\[M\]. 高等教育出版社，施普林格出版社，2002 \[2\]梁宗巨. 世界数学史简编\[M\]. 辽宁人民出版社，1980 参考：https://www.zhihu.com/question/
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