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矢量导数——角速度与矢量的叉乘
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矢量叉乘，向量外积
1. 定理
矢量的导数为角速度叉乘以该适量。
这也是角速度的定义。
角速度在一般意义上是一个二阶张量，不过由于这个张量满足某些约束条件，自由的分量个数恰好变成了3个，所以正好可以拼凑成一个三分量矢量。
刚体绕定轴旋转时，角速度矢量的方向垂直于旋转平面，且按右手螺旋法则确定
证明
定义矢量在本体坐标系表示为 r a r_a ra，在旋转坐标系的表示为 r b r_b rb，两个坐标系之间的旋转矩阵为R。则存在
r a = R r b r_a=Rr_b ra=Rrb
两边求导得到
r ˙ a = R ˙ r b + R r ˙ b = R r ˙ b + R ˙ R − 1 r a \begin{aligned} \dot{r}_a&=\dot{R}r_b + R\dot{r}_b\\ &= R\dot{r}_b + \dot{R}R^{-1}r_a \end{aligned} r˙a=R˙rb+Rr˙b=Rr˙b+R˙R−1ra
由于坐标旋转矩阵为酉矩阵，即 R − 1 = R T R^{-1}=R^T R−1=RT，则
r ˙ a = R r ˙ b + R ˙ R T r a \begin{aligned} \dot{r}_a&= R\dot{r}_b + \dot{R}R^Tr_a \end{aligned} r˙a=Rr˙b+R˙RTra
定义相对倒数：
R r ˙ b = d d t r a R\dot{r}_b=\frac{d}{dt}r_a Rr˙b=dtdra
表示该矢量在旋转坐标系中的坐标相对时间变化率转到本体坐标系。
引入角速度张量
R ˙ R T = Ω \dot{R}R^T=\Omega R˙RT=Ω
则可以得到
Ω T = R R ˙ T Ω + Ω T = d d t ( R R T ) = d d t ( I ) = 0 \begin{aligned} &\Omega^T=R\dot{R}^T\\ &\Omega + \Omega^T=\frac{d}{dt}(RR^T)=\frac{d}{dt}(I)=0 \end{aligned} ΩT=RR˙TΩ+ΩT=dtd(RRT)=dtd(I)=0
其中 R R T RR^T RRT基于酉矩阵性质。
同时可以得到
Ω = − Ω T \Omega=-\Omega^T Ω=−ΩT
满足这个条件的张量就是所谓的“斜对称矩阵”，在这个约束条件下，角速度张量可以写成
Ω = [ 0 − ω y ω z ω y 0 − ω x − ω z ω x 0 ] \Omega=\begin{bmatrix}0&-\omega_y&\omega_z\\\omega_y&0&-\omega_x\\ -\omega_z &\omega_x &0\end{bmatrix} Ω=⎣⎡0ωy−ωz−ωy0ωxωz−ωx0⎦⎤
如果把旋转坐标系看成是“固连”在刚体上的坐标系，那么这个定义就是刚体角速度的定义。
现在定义角速度矢量
ω = [ ω x , ω y , ω z ] \omega=[\omega_x,\omega_y, \omega_z] ω=[ωx,ωy,ωz]
则
Ω r a = ω × r a \Omega r_a = \omega\times r_a Ωra=ω×ra
证明结论部分
因此可以得到
r ˙ a = d d t r a + R ˙ R T r a = d d t r a + ω × r a \begin{aligned} \dot{r}_a&=\frac{d}{dt}r_a + \dot{R}R^Tr_a\\ &=\frac{d}{dt}r_a + \omega\times r_a \end{aligned} r˙a=dtdra+R˙RTra=dtdra+ω×ra
如果这个矢量相对于旋转坐标系是固定的（比如刚体上固定点在固连坐标系中的位置矢量），那么“相对导数”为零，这种情况下就有
r ˙ a = ω × r a \begin{aligned} \dot{r}_a= \omega\times r_a \end{aligned} r˙a=ω×ra
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