高维前缀和就是求关于一个集合子集(或超集)的状态的和
对于一个一维数组求部分和，可以使用如下代码
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] += a[i - 1]; } 对于一个二维数组求部分和，可以使用如下代码
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]; } } 或如下代码
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[i][j] += a[i][j - 1] } } for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
a[i][j] += a[i - 1][j] } } 第二份代码看起来更麻烦更慢，来考虑一下三维的情况。
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int k = 1; k <= n; k++) {
a[i][j][k] += a[i][j][k - 1] + a[i][j - 1][k] + a[i - 1][j][k]; a[i][j][k] -= a[i][j - 1][k - 1] + a[i - 1][j - 1][k] + a[i - 1][j][k - 1]; a[i][j][k] += a[i - 1][j - 1][k - 1]; } } } 或如下代码
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int k = 1; k <= n; k++) {
a[i][j][k] += a[i][j][k - 1]; } } } for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int k = 1; k <= n; k++) {
a[i][j][k] += a[i][j - 1][k]; } } } for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int k = 1; k <= n; k++) {
a[i][j][k] += a[i - 1][j][k]; } } } 第二份代码就不一定更慢了（第二份复杂度大约3n3，第一份复杂度大概8n3）
随着维度更高，第一份代码容斥时项数越来越多，而第二份只是多一次遍历整个数组，优势越来越大。
同样的思路能不能推广到更高维的情况呢？
最后的解决方法就是高维前缀和，从低到高枚举位数，然后枚举从 0 0 0到 n − 1 n-1 n−1的所有元素
核心代码如下：
for(int i=0;(1<<i)<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) if(j&(1<<i)) a[j]+=a[j^(1<<i)]; 复杂度 O ( n × 2 n ) O(n\times 2^n) O(n×2n)
完整代码：
#include
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