线性相关
定义
- 定义1：在向量空间 V V V 的一组向量 A A A ： α 1 , α 2 , ⋯ α m \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha_{m} α1,α2,⋯αm，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ k m k_{1},k_{2},\cdots k_{m} k1,k2,⋯km ，使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots +k_{m}\alpha_{m}=0 k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0 则称向量组 A A A 是线性相关的，否则，称其为线性无关的。
- 定义2：当且仅当 α 1 , α 2 , ⋯ α m \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha_{m} α1,α2,⋯αm 全为零时，使得使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots +k_{m}\alpha_{m}=0 k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0 成立，称向量组线性无关。
定理：
- 两个向量 a a a 、 b b b 共线的充要条件是 a a a、 b b b 线性相关；
- 三个向量 a a a 、 b b b 、 c c c 共面的充要条件是 a a a 、 b b b 、 c c c 线性相关；
- 向量 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ( n ⩾ 2 ) a_1,a_2, ···,a_n (n\geqslant 2) a1,a2,⋅⋅⋅,an(n⩾2) 线性相关的充要条件是这 n n n 个向量中的一个为其余 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 个向量的线性组合，即有 a n a_n an ，且存在数域K中一组数 k 1 , k 2 , ⋯ k m k_{1},k_{2},\cdots k_{m} k1,k2,⋯km ，满足 a n = k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k n − 1 a n − 1 a_n = k_1a_1+k_2a_2 + \cdots +k_{n-1}a_{n-1} an=k1a1+k2a2+⋯+kn−1an−1
注意：
- 对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的；
- 包含零向量的任何向量组是线性相关的；
- 含有相互平行的向量的向量组必线性相关；
- 向量组是线性相关的，那么增加向量的个数，不改变向量的相关性。【局部相关，整体相关】
- 向量组是线性无关的，那么减少向量的个数，不改变向量的无关性。【整体无关，局部无关】
正交向量
通常，两个向量垂直的充分必要条件是它们夹角的余弦为零，亦即它们的数量积为零。在一般的欧式空间中，仍以内积定义两向量夹角的余弦。
定义：如果对于欧式空间中的两个向量 x x x 与 y y y 有 ( x , y ) = 0 (x,y)=0 (x,y)=0 ，则称 x x x 与 y y y 正交 或 垂直 ，记为 x ⊥ y x\perp y x⊥y 。
结论：
- 当 x x x 与 y y y 正交时， y y y 与 x x x 也正交；
- 零向量与任意向量均正交；
- 如果 x ⊥ y x\perp y x⊥y ，且 x x x 与 y y y 线性相关，则此二向量中至少有一个是零向量。
定义：如果欧式空间中一组非零向量两两正交，则称为正交向量组。
定理：设 x 1 , x 2 , ⋯ x m x_{1},x_{2},\cdots x_{m} x1,x2,⋯xm 是正交向量组，则它们必线性无关。
上述定理可以表明，在 n n n 维欧式空间中，两两正交的非零向量不能超过 n n n 个。例如，在平面上找不到三个两两正交的非零向量；在通常的三维空间 R 3 R^3 R3 中，找不到四个两两正交的非零向量。
正交基
定义：在欧式空间 V n V^n Vn 中，由 n n n 个非零向量组成的正交向量组称为 V n V^n Vn 的 正交基 ；由单位向量组成的正交基称为 标准正交基 或 法正交基 ；其基向量称为 单位坐标向量 。
一个基为标准正交基的 充要条件 是它的度量矩阵为单位矩阵。
证明：设 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,⋯xn 为标准正交基，则由定义有 ( x i , x j ) = x i T x j = { 1 if i = j 0 if i ≠ j \left ( x_{i},x_{j} \right )=x_{i}^{T}x_{j}=\begin{cases} 1 & \text{ if } i=j \\ 0 & \text{ if } i\neq j \end{cases} (xi,xj)=xiTxj={
10 if i=j if i=j 可见 ，它的度量矩阵是单位矩阵。反之，如果以单位矩阵为度量矩阵，则由矩阵相等可得 ( x i , x j ) = x i T x j \left ( x_{i},x_{j} \right )=x_{i}^{T}x_{j} (xi,xj)=xiTxj ，即 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,⋯xn 为标准正交基。
正交化
定理：对于欧式空间 V n V^n Vn 的任一基 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,⋯xn ，都可以找到一个标准正交基 y 1 , y 2 , ⋯ y n y_{1},y_{2},\cdots y_{n} y1,y2,⋯yn 。换言之，任一非零欧式空间都有正交基和标准正交基。
这个正交基我们可以通过Gram-Schmidt正交化获得。
Gram-Schmidt正交化方法是将 线性无关 的向量转化为 标准正交化向量 的方法。注意这里的前提，Gram-Schmidt正交化方法是对线性无关的向量操作。
假设欧式空间 V n V^n Vn 中的任一基为 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,⋯xn ，我们通过Gram-Schmidt正交化方法得到该基的正交基和标准正交基。
- 取 β 1 = x 1 \beta_{1}=x_1 β1=x1 ，作所求正交基中的第一个向量。
- 令 β 2 = x 2 + k β 1 \beta_{2}=x_2+k\beta_{1} β2=x2+kβ1 ，由于我们要构造的正交基两两向量相互正交，有 ( β 1 , β 2 ) = 0 (\beta_{1},\beta_{2})=0 (β1,β2)=0 ，通过这个条件来计算待定常数 k k k 。
- 由 ( β 1 , x 2 + k β 1 ) = ( β 1 , x 2 ) + k ( β 1 , β 1 ) = 0 (\beta_{1},x_2+k\beta_{1})=(\beta_{1},x_2)+k(\beta_{1},\beta_{1})=0 (β1,x2+kβ1)=(β1,x2)+k(β1,β1)=0 得 k = − ( x 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) k=-\frac{(x_2,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})} k=−(β1,β1)(x2,β1) 代入 β 2 = x 2 + k β 1 \beta_{2}=x_2+k\beta_{1} β2=x2+kβ1 ，这样就得到两个相互正交的向量 β 1 \beta_{1} β1 ， β 2 \beta_{2} β2，且 β 2 ≠ 0 \beta_{2} \neq 0 β2=0 。
- 令 β 3 = x 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 \beta_{3}=x_3+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1} β3=x3+k2β2+k1β1 ，再由正交条件 ( β 1 , β 3 ) = 0 (\beta_{1},\beta_{3})=0 (β1,β3)=0 及 ( β 2 , β 3 ) = 0 (\beta_{2},\beta_{3})=0 (β2,β3)=0 来决定出常数 k 1 k_1 k1 和 k 2 k_2 k2 为 k 2 = − ( x 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) , k 1 = − ( x 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) k_2=-\frac{(x_3,\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})},k_1=-\frac{(x_3,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})} k2=−(β2,β2)(x3,β2),k1=−(β1,β1)(x3,β1)
- 以此类推，继续进行下去，直到最后一个向量。
上述获得的向量组 ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) (\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{n}) (β1,β2,⋯,βn) 即为欧式空间 V n V^n Vn 中的一个 正交基 。再将各向量单位化，即除以各自的模，得到单位正交向量组 y 1 , y 2 , ⋯ y n y_{1},y_{2},\cdots y_{n} y1,y2,⋯yn，也即 标准正交基。
y i = β i ∣ β i ∣ , i = 1 , 2 , . . . , n y_{i}=\frac{\beta_i}{\left | \beta _{i} \right |},i=1,2,…,n yi=∣βi∣βi,i=1,2,...,n 由基 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,⋯xn 求标准正交基 y 1 , y 2 , ⋯ y n y_{1},y_{2},\cdots y_{n} y1,y2,⋯yn 的过程也称把基 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,⋯xn 正交单位化 或 正交规范化 。
为简单起见，以包含四个向量的向量组为例，介绍Schmidt正交化的具体过程。假设向量组为 x 1 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) x_{1}=\left ( 1,1,0,0 \right ) x1=(1,1,0,0) ， x 2 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) x_{2}=\left ( 1,0,1,0 \right ) x2=(1,0,1,0) ， x 3 = ( − 1 , 0 , 0 , 1 ) x_{3}=\left ( -1,0,0,1 \right ) x3=(−1,0,0,1) ， x 4 = ( 1 , − 1 , − 1 , 1 ) x_{4}=\left ( 1,-1,-1,1 \right ) x4=(1,−1,−1,1) ，求解其标准正交基。
解：首先先把它们正交化。
取 β 1 = x 1 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) \beta_{1}=x_1=\left ( 1,1,0,0 \right ) β1=x1=(1,1,0,0)
令 β 2 = x 2 + k β 1 \beta_{2}=x_2+k\beta_{1} β2=x2+kβ1 ，常数 k k k 为 k = − ( x 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) = − 1 2 k=-\frac{(x_2,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}=-\frac{1}{2} k=−(β1,β1)(x2,β1)=−21，则
β 2 = x 2 + k β 1 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) − 1 2 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) = ( 1 2 , − 1 2 , 1 , 0 ) \begin{aligned} \beta_{2}&=x_2+k\beta_{1} \\ &=\left ( 1,0,1,0 \right )-\frac{1}{2}\left ( 1,1,0,0 \right )\\ &=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0) \end{aligned} β2=x2+kβ1=(1,0,1,0)−21(1,1,0,0)=(21,−21,1,0)
令 β 3 = x 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 \beta_{3}=x_3+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1} β3=x3+k2β2+k1β1 ，常数 k 1 k_1 k1 与 k 2 k_2 k2 为 k 1 = − ( x 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) = 1 2 , k 2 = − ( x 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) = − − 1 / 2 3 / 2 = 1 3 k_1=-\frac{(x_3,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}=\frac{1}{2},k_2=-\frac{(x_3,\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})}=-\frac{-1/2}{3/2}=\frac{1}{3} k1=−(β1,β1)(x3,β1)=21,k2=−(β2,β2)(x3,β2)=−3/2−1/2=31， 则
β 3 = x 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 = ( − 1 , 0 , 0 , 1 ) + 1 3 ( 1 2 , − 1 2 , 1 , 0 ) + 1 2 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) = ( − 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 ) \begin{aligned} \beta_{3} &= x_3+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1}\\ &= \left ( -1,0,0,1 \right )+\frac{1}{3}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0)+\frac{1}{2}\left ( 1,1,0,0 \right )\\ &= (-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},1) \end{aligned} β3=x3+k2β2+k1β1=(−1,0,0,1)+31(21,−21,1,0)+21(1,1,0,0)=(−31,31,31,1)
令 β 4 = x 4 + k 3 β 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 \beta_{4}=x_4+k_3\beta_{3}+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1} β4=x4+k3β3+k2β2+k1β1 ，常数 k 1 k_1 k1 与 k 2 k_2 k2 为 k 1 = − ( x 4 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) = 0 , k 2 = − ( x 4 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) = 0 ， k 3 = − ( x 4 , β 3 ) ( β 3 , β 3 ) = 0 k_1=-\frac{(x_4,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}=0,k_2=-\frac{(x_4,\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})}=0，k_3=-\frac{(x_4,\beta _{3})}{(\beta _{3},\beta _{3})}=0 k1=−(β1,β1)(x4,β1)=0,k2=−(β2,β2)(x4,β2)=0，k3=−(β3,β3)(x4,β3)=0， 则 β 4 = x 4 + k 3 β 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 = ( 1 , − 1 , − 1 , 1 ) \beta_{4}=x_4+k_3\beta_{3}+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1}= ( 1,-1,-1,1 ) β4=x4+k3β3+k2β2+k1β1=(1,−1,−1,1)
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