Butterworth LPF
公式
利用一下方程得到一个和图像相同尺寸的滤波器 H H H，进行滤波：
H ( u , v ) = 1 1 + ( D ( u , v ) D 0 ) 2 n H(u, v) = \frac{1}{1 + (\frac{D(u, v)}{D_0})^{2n}} H(u,v)=1+(D0D(u,v))2n1
其中 D 0 D_0 D0是一个常数，我们称为截止频率
D(u, v)定义如下:
D ( u , v ) = [ ( u − M 2 ) 2 + ( v − N 2 ) 2 ] 1 2 D(u, v) = [(u – \frac{M}{2})^2 + (v – \frac{N}{2})^2]^{\frac{1}{2}} D(u,v)=[(u−2M)2+(v−2N)2]21
即在频率域中的点距离中心的距离。(通过对空域做中心变换后，我们在经过快速傅里叶变换之后得到的图像的中心将会是 ( M 2 , N 2 ) (\frac{M}{2}, \frac{N}{2}) (2M,2N)，中心变换操作可以通过和 ( − 1 ) x + y (-1)^{x + y} (−1)x+y做相关得到，可以通过傅里叶变换的平移性得到)
matlab步骤
（1）以 ( − 1 ) ( x + y ) (-1)^{(x + y)} (−1)(x+y) 乘以输入图像进行中心变换；
% uint8 f = imread('your_image_file'); % double f = im2double(f); [X, Y] = meshgrid(1:width, 1:height); cent = f.*(-1).^(X + Y); （2）直接以FFT2进行傅立叶变换；
F = fft2(cent); （3）进行Butterworth滤波
% generate Butterworth filtering kernel kernel = zeros(height, width); for u = 1:height for v = 1:width D = sqrt((u - height / 2)^2 + (v - width / 2)^2); kernel(u, v) = 1 / (1 + (D / D0)^2); end end % fitering F = F.*kernel; （4）DFT反变换后取实部；
% get conjugate F for u = 1:height for v = 1:width F(u, v) = (real(F(u, v)) - imag(F(u, v)) * 1i) / (height * width); end end % get conjugate f by doing 2-dimension FFT on conjugate F cent = fft2(F); % get real part for u = 1:height for v = 1:width cent(u, v) = real(cent(u, v)); end end （5）以 ( − 1 ) ( x + y ) (-1)^{(x + y)} (−1)(x+y) 乘以（3）中结果，反中心变换。
f = cent.* (-1).^(X + Y); 滤波效果
从频域的角度来看，观察我们用来构造滤波器的公式，当维度 n n n保持不变时，随着截止频率 D 0 D_0 D0的增大，分母越小，分母的增加速度也越小，也就是滤波器从中心往周围扩散的下降趋势变小了，变得较为平坦，我们可以从下图图像的滤波器的变化可以看出，滤波器亮度高的部分逐渐展开变宽。这也意味着更多的高频成分被保留了，图像的细节也就越明显了。
从空域的角度来看，考虑高斯低通滤波器，再考虑高斯滤波器的傅里叶变换，高斯滤波器的傅里叶变换之后还是一个高斯滤波器，那么显然，高斯滤波器傅里叶反变换之后的结果也是一个高斯滤波器，也就是在空域中。Butterworth低通滤波器结构与效果和高斯低通滤波器相似，那么，当我们对Butterworth反变换与图像在空域中进行卷积，也将会类似在空域中进行高斯滤波后的效果，即对图片进行平滑操作，图像会变得模糊。参考一下空域卷积和到频域的转换式子：
f ( x , y ) ∗ g ( x , y ) ⟷ F ( x , y ) ⋅ G ( x , y ) f(x, y) * g(x, y) \longleftrightarrow F(x, y) \cdot G(x, y) f(x,y)∗g(x,y)⟷F(x,y)⋅G(x,y)
即，空域的卷积相当于频域率的逐点相乘的结果，反过来也就是说，在频域中进行Butterworth滤波，相当于对Butterworth滤波器反变换到空域中和图像做卷积。
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