讨论行列式的几何意义

全栈程序员-站长 • 2026年3月18日上午9:10 • 未分类 • 阅读 2

先给结论：行列式是线性变化的伸缩因子

给定一个二阶行列式：

$D=\begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ y_1& y_2 \end{vmatrix}$

由行列式的计算方法可得：

矩阵 $D=\begin{pmatrix} x_1 &x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix}$ 可表示为二维空间上的两个向量 $\vec{a}(x_1,y_1)$ 和 $\vec{b}(x_2,y_2)$ ，这两个向量可以组成一个平行四边形。

下面证明

(平行四边形)

由：

三角形的面积公式： $S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$

得：

平行四边形的面积为： $S=|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$

由：

内积计算公式： $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1x_2+y_1y_2=|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

得

$sin\theta =\sqrt{1-cos^{2}\theta }$

$=\sqrt{1-(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})^{2}}$

$=\sqrt{\frac{(|\vec{a}||\vec{b}|)^{2}-(\vec{a}\cdot \vec{b})^{2}}{(|\vec{a}||\vec{b}|)^{2}}}$

$=|\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^{2}-(\vec{a}\cdot \vec{b})^{2}}$

$=|\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{[\sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2}})\cdot \sqrt{(x_2^{2}+y_2^{2})}]^{2}-(x_1x_2+y_1y_2)^{2}}$

$=|\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2})\cdot (x_2^{2}+y_2^{2})-(x_1x_2+y_1y_2)^{2}}$

$=|\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{x_1^{2}x_2^{2}+x_1^{2}y_2^{2}+y_1^{2}x_2^{2}+y_1^{2}y_2^{2}-x_1^{2}x_2^{2}-2x_1x_2y_1y_2-y_1^{2}y_2^{2}}$

$=|\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{x_1^{2}y_2^{2}+y_1^{2}x_2^{2}-2x_1x_2y_1y_2}$

$=|\vec{a}||\vec{b}| (x_1y_2-x_2y_1)$

将 $sin\theta$ 代入平行四边形的面积公式得：

由此可以把二阶行列式理解为将面积为1的正方形伸缩变换为面积为 $D{\color{Red} }$ 的平行四边形（或者说D为矩阵对应的线性变换前后的面积比），正负号表示伸缩变换的方向。三阶行列式可理解为将体积为1的正方体伸缩变化为体积为的六面体。

各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴,让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向,这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向。这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间直角坐标系。

因此可证明以下结论：

1.行列式与其转置行列式相等，即 $D=D^{\top }$ 。

由于转置只会改变图形位置，而不会改变面积，所以 $D=D^{\top }$

2.对调两行（或列）行列式改变符号。

对调行或列表示将坐标轴对调，方向相反，所以会改变符号

3.行列式某行（或列）有公因子，可以提取到行列式的外面。

将某个向量扩大（或缩小）n倍，它与其它向量所组成的平行四边形的面积也会扩大（或缩小）n倍

4.若行列式某行或列元素全为0，则该行列式值为0。

一个向量为零，另一个向量无法围成平行四边形，因而不能算面积

5.若行列式某两行（或列）元素相同，则行列式值为0。

6.若行列式某两行（或列）元素对应成比例，则行列式值为0。

5和6都表示两个向量重合，其余向量无法围成封闭图形，因而不能算面积（或体积）

7.行列式某行（或列）的每个元素皆为两数之和，行列式可分解为两个行列式之和。

即：

$\begin{pmatrix} a &b \\ c+e& d+f \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a &b \\ c& d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a &b \\ e & f \end{pmatrix}$

可理解为将一次伸缩变化分解为两次伸缩变化。

8.行列式的某行（或某列）的倍数加到另一行（或列）行，列式不变。

由向量性质可证。

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