费马小定理的证明如下：
任意取一个质数，比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，给这些数都乘上一个与13互质的数，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说，这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是顺序不同而已（这里可以用中国剩余定理去理解）。
把1,2,3,„,12统统乘起来，乘积就是12的阶乘12！。把3,6,9,„,36也统统乘起来，并且提出公因子3，乘积就是312×12！。对于模13来说，这两个乘积都同余于1,2,3,„,12系列，尽管顺序不是一一对应，即312×12！≡12！mod 13。两边同时除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理
1*2*..*12 ≡ 3*6*9*12*2*5*8*11*1*4*7*10 mod 13 （因为顺序不同而已）
而3*6*9*12*15*18*21*24*27*30*33*36 ≡ 3*6*9*12*2*5*8*11*1*4*7*10 mod 13 （因为3和13互质，所以1，2，.. 12 乘上3后还是和13互质，12个数还是和1到12同余 ，只是顺序不同了 ）。
所以312×12！≡12！mod 13。
费马小定理可以快速求得x关于p的逆。前提是x与p互质。
所以就是x关于p的乘法逆元。
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