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文章目录
1. 什么是奇偶校验法？
- 偶校验
一串01数字串中，如果有偶数个1，则表明这串数字是正确的，没有在传输过程中出错。
- 奇校验
一串01数字串中，如果有奇数个1，则表明这串数字是正确的，没有在传输过程中出错。
缺点：奇偶校验只能在错一位时发现有错，如果同时错两位（或偶数位），这没办法校验出来。
但是同时多位出错的情况很少发生，所以奇偶校验法得到广泛应用。
例：
偶校验：如果你想要传输0101，传输前在开头加一位校验位0，这样传输的是00101，此时这串数有2个1，符合偶校验。
奇校验：如果你想要传输0101，传输前在开头加一位校验位1，这样传输的是10101，此时这串数有3个1，符合奇校验。
本文用偶校验法讲解汉明码
2. 非代码，通俗理解汉明码原理
现在不要管前面讲的，这是全新的东西。
假设现在要传输一个数有7位，位号为1、2、3、4、5、6和7。它们有如下关系：
- 现在我们假设：这7位数中一定有一位是错的，而1号位所在大圈和4号位所在大圈一定是正确的，=>推得错的这一位一定是2号位；
- 再假设：这7位数中一定有一位是错的，而2号位所在大圈是正确的，且1号位和4号位所在大圈同时出错了，=>那么错的这一位一定是5号位；
- 同理，再假设：这7位数中一定有一位是错的，而此时所有大圈都出错了，=>那么错的这一位一定是7号位。
通过上面三个假设我们我们可以看到，我们都是以大圈为单位，根据三个大圈的出错情况（无错、1个错、2个错、3个全错）就可以推得到底是哪一位出错了。我们称第1、2、4号位为校验位。
3. 汉明码如何分组、编码？
通过上面的简化例子可以发现，要实现上面的校验过程，有两步一定要做：1. 分组（上面的每个大圈为一组）；2. 每组都有一个校验位（即上面的1、2和4号位）。那么具体是如何做的呢？
3.1 如何确定校验位？
我们先把1~7的二进制写出来，再看看每个二进制数的1在哪里：
1：0001 >>> XXX1（'1'在第1号位） 2：0010 >>> XX1X（'1'在第2号位） 3：0011 >>> XXX1、XX1X（'1'在第1、2号位） 4：0100 >>> X1XX（'1'在第3号位） 5：0101 >>> XXX1、X1XX（'1'在第1、3号位） 6：0110 >>> XX1X、X1XX（'1'在第2、3号位） 7：0111 >>> XXX1、XX1X、X1XX（'1'在第1、2和3号位） 我们可以看到只有1个1的位号（1、2和4号位）都是2n（20、21和22）。汉明码把这样2n号位作为校验位（上节中的大圈），这些位上的数称为校验码。
3.2 如何分组？
我们通过举例子来说明。哪些位号应该和1号位组成一组呢（画大圈）？
答：1号位1的位置在第1位，形如XXX1，那么位号分解出来有XXX1的位，会和1号位一组。这里第3、5和7号位与1号位一组；
同理，2号位1的位置在第2位，形如XX1X，那么位号分解出来有XX1X的位，会和2号位一组。这里第3、6和7号位与2号位一组。
4号位的分组亦同理易得。
3.3 汉明码如何编码？
通过上两小节，我们知道了如何确定校验位和如何分组，那么该如何将原始数据编码成汉明码呢？
我们也通过例子来说明。我们现在给0101编码。
我们先写成这种形式：_ _ 0 _ 1 0 1。留的空白就是校验位（2n号位）。
且第1、3、5和7号位为一组（_ 0 1 1)，第2、3、6和7号位为一组（_ 0 0 1），第4、5、6和7号位为一组（_ 1 0 1）。
前面说过，本文以偶校验法来讲解汉明码。现在以组为单位（大圈），看看每组的校验位_都填啥。显然，第1号位填0，第2号位填1，第4号位填0。使得每组的1的个数为偶数。
所以对于0101，编码后得到的汉明码为0。
偶校验码的计算机生成由异或操作实现。如第一组的校验码
0实际由该组其他位上的数0⊕1⊕1。奇校验码由同或操作实现。
4. 数学关系
我们可以发现，上面示例中有3个校验位，可以校验最多7位数（3个校验码+4个原始数据）。
即有k位校验位，最多可以得到有2k-1位数的汉明码：
2k-1 >= k+n（n为原始数据的位数）
5. 如何知道哪位错了？（检错方法）
提醒：依旧是在易错1位的基础上讨论
我们按照分组方法，将接收到的一串汉明码同样分成几组。手动计算每组信息是否与校验码匹配，再画大圈找到错的那一位数。昂？是这样吗？P！
当接收到的位数很多时，肯定不能手动计算出错位，画大圈都要画成憨憨。事实上，汉明码有一种非常快速的找到错位的方法。
继续上面的例子，我们发送的汉明码为0，但是接收到的数为0。我们以接收者的角度来说，乍一看并不能确定哪一位是错的（只能错一位），但是这是优秀的汉明码啊！大哥！看看怎么找出错位来的吧！
我们将0按分组方法分成三组（注意三组按校验位从小到大写）：
第一组：0011，校验正确，标记为0 第二组：1001，校验正确，标记为0 第三组：1101，校验错误（偶校验这里校验位应为0才能保证这组'1'的个数为偶数），标记为1 将标记倒序写出来是100，写成十进制数为4，所以这串数字的第4位出错了，应该反过来为0。由此可以确定接收到的0是错误的，正确串应该是0。
这个方法口诀为正确标0错标1，分组校验倒叙查。
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