二叉树一定是完全二叉树_完全二叉树概念

一、树的概念及其结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

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1、树的特点

①有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。

②除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

③因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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2、树的相关概念：

加红的概念用的较多！

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

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3、树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的左孩子右兄弟法表示。

typedef int DataType;//重新定义方便以后修改要存储的数据
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

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树在我们实际生活中，可以类比电脑中的文件目录，一个文件夹中包含众多的文件夹，每个文件夹又包含许多文件

例如：

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二、二叉树的概念及其结构

1、二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

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2、二叉树的特点

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意二叉树都是由以下几种情况而复合成的：

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三、特殊的二叉树

1、满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。

2、完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

说的简单点：

满二叉树

①所有叶子节点都在最后一层

②所有分支节点都有两个孩子

完全二叉树

①前n-1层为满的

②最后一层不满，但最后一层从左往右是连续的

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四、二叉树的性质（很重要，常用）

①若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1个结点。
②若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数为2h-1个。
③对任何一棵二叉树，如果度为0的叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0 = n2+1。（常用这个性质解选择题）
④若规定根结点的层数为1，则具有N个结点的满二叉树的深度h = log2(N+1)。
⑤对于具有N个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点：
1、若 i > 0，则该结点的父结点序号为：( i – 1) / 2；若 i = 0，则无父结点。
2、若2i + 1 < N，则该结点的左孩子序号为：2i + 1；若2i + 1 >= N，则无左孩子。
3、若2i + 2 < N，则该结点的右孩子序号为：2i + 2；若2i + 2 >= N，则无右孩子。

两道小例题

1.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

2.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

解析：二叉树一定是完全二叉树_完全二叉树概念

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五、二叉树的存储结构

二叉树一般有两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

1. 顺序存储（数组）

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储（链表）

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链

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