RANSAC算法详解

RANSAC算法详解

给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可方便地判断p3是否在该直线上。

生产实践中的数据往往会有一定的偏差。例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。通过实验，可以得到一组X与Y的测试值。虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。我们希望的是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。大学高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法思想。通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的值。事实上，很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。

遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。

RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：

1. 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
2. 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
3. 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
4. 然后用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
5. 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
6. 上述过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

整个过程可参考下图：

关于算法的源代码，Ziv Yaniv曾经写一个不错的C++版本：

#include 

  

#include “LineParamEstimator.h”  

LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}  

/*/  

/* 

 * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] 

 * 通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况 

 * 其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点 

 */  

void LineParamEstimator::estimate(std::vector  &data,   

                                                                    std::vector

 &parameters)  

{  

    parameters.clear();  

    if(data.size()<2)  

        return;  

    double nx = data[1]->y – data[0]->y;  

    double ny = data[0]->x – data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k  

    double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);  

    parameters.push_back(nx/norm);  

    parameters.push_back(ny/norm);  

    parameters.push_back(data[0]->x);  

    parameters.push_back(data[0]->y);          

}  

/*/  

/* 

 * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] 

 * 使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量 

 */  

void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector  &data,   

                                                                                            std::vector

 &parameters)  

{  

    double meanX, meanY, nx, ny, norm;  

    double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix  

    int i, dataSize = data.size();  

    parameters.clear();  

    if(data.size()<2)  

        return;  

    meanX = meanY = 0.0;  

    covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;  

    for(i=0; i

        meanX +=data[i]->x;  

        meanY +=data[i]->y;  

        covMat11    +=data[i]->x * data[i]->x;  

        covMat12    +=data[i]->x * data[i]->y;  

        covMat22    +=data[i]->y * data[i]->y;  

    }  

    meanX/=dataSize;  

    meanY/=dataSize;  

    covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;  

        covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;  

    covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;  

    covMat21 = covMat12;  

    if(covMat11<1e-12) {  

        nx = 1.0;  

            ny = 0.0;  

    }  

    else {      //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix   

               //and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest  

               //eigenvalue, which isn’t computed explicitly.  

        double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;  

        nx = -covMat12;  

        ny = lamda1 – covMat22;  

        norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);  

        nx/=norm;  

        ny/=norm;  

    }  

    parameters.push_back(nx);  

    parameters.push_back(ny);  

    parameters.push_back(meanX);  

    parameters.push_back(meanY);  

}  

/*/  

/* 

 * Given the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] check if 

 * [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta 

 * 通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为 

 * 零则表明点在直线上 

 */  

bool LineParamEstimator::agree(std::vector

 &parameters, Point2D &data)  

{  

    double signedDistance = parameters[0]*(data.x-parameters[2]) + parameters[1]*(data.y-parameters[3]);   

    return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);  

}  

RANSAC寻找匹配的代码如下：

/*/  

template

  

double Ransac

::compute(std::vector
 &parameters,