如何计算时间复杂度

一、概念

时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数) 比如：一般总运算次数表达式类似于这样： a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f a ！ =0时，时间复杂度就是O(2^n); a=0,b<>0 =>O(n^3); a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推

eg:

(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2) for(j=1;j<=n;j++) s++; (2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2) for(j=i;j<=n;j++) s++; (3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++) s++; (4) i=1;k=0;
 while(i<=n-1){ 
  
 k+=10*i;
 i++; }
//循环了
n-1≈n次，所以是O(n)
(5) for(i=1;i<=n;i++)
 for(j=1;j<=i;j++)
 for(k=1;k<=j;k++)
 x=x+1;
//
循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)
另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a) 所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的
二、计算方法
1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
2.一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））。随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））。
3.常见的时间复杂度

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
常数阶O(1), 对数阶O(log2n), 线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n), 平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。
其中，
1.O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。
2.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用
3.对数阶O(log2n), 线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高
例：算法： for（i=1;i<=n;++i） { for(j=1;j<=n;++j) { c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2
 for(k=1;k<=n;++k) c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3 } } 则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级 则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c 则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3)
四、 





        定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。
我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。
此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。
“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。
这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;                    
以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。



































        O(n^2)

2.1. 交换i和j的内容
     sum=0；                 （一次）
     for(i=1;i<=n;i++)       （n次 ）
        for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
         sum++；       （n^2次 ）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.   
    for (i=1;i
                                                                                                                                                                 
                                                                                     {
                                                                                    
               y=y+1;                 ①       
               for (j=0;j<=(2*n);j++)         
                     x++;               ②             
       }                   
解： 语句1的频度是n-1 
                   语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 
                   f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 
                   该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).                   
 O(n)             
                                                                                                             
2.3. 
       a=0; 
       b=1;                                           ① 
       for (i=1;i<=n;i++) ② 
       {     
             s=a+b;　　　　③ 
             b=a;　　　　　④     
             a=s;　　　　　⑤ 
       } 
解：语句1的频度：2,                 
                     语句2的频度： n,                 
                   语句3的频度： n-1,                 
                   语句4的频度：n-1,         
                   语句5的频度：n-1,                                                                     
                   T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n). 
                                                                                                                                                                                                   
 























































                                                                               
















        O(log2n )

2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,  
          设语句2的频度是f(n),   则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
          取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n )

O(n^3)
2.5.
    for(i=0;i
                                                                                                                                                                         
                                                                                         {     
             for(j=0;j
                                                                                                
                                                                                                   
                                                                                                  
             {
                                                                                                          
                   for(k=0;k
                                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                           x=x+2;     
             } 
       } 
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3). 
                                                                     
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。 
下面是一些常用的记法： 
访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。 
指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。 
 























                                                                                                                    





                                                                                                 
 



                                                                                   
























       




                                                        
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