有限域的定义
有 限 域 满 足 以 下 性 质 : 有 两 种 运 算 ( + 和 × ) , 在 该 集 合 上 封 闭 这 两 种 运 算 满 足 交 换 和 结 合 律 有 单 位 元 e 有 逆 元 a − 1 有 乘 法 对 加 法 的 分 配 律 a × ( b + c ) = a × b + a × c 有限域满足以下性质:\\ 有两种运算(+和\times),在该集合上封闭\\ 这两种运算满足交换和结合律\\ 有单位元e\\ 有逆元a^{-1}\\ 有乘法对加法的分配律a\times(b+c)=a\times b+a\times c\\ 有限域满足以下性质:有两种运算(+和×),在该集合上封闭这两种运算满足交换和结合律有单位元e有逆元a−1有乘法对加法的分配律a×(b+c)=a×b+a×c
子域和扩域
如果 F F F的子集 F 0 F_0 F0对加法,乘法封闭(至少有0,e),并具有域的其他性质(除了封闭,基本上都是对运算规则的要求,所以也谈不上,只是需要注意),则称 F 0 F_0 F0为子域.
几个比较典型的域的记法
- Q [ 2 ] Q[\sqrt{2}] Q[2]
也就是 { a + 2 b ∣ a , b ∈ Q } \{a+\sqrt 2 b|a,b\in\mathbb{Q}\} {
a+2b∣a,b∈Q},加法和乘法是典型的加法和乘法. - R [ − 2 ] R[\sqrt{-2}] R[−2]
{ a + − 2 b ∣ a , b ∈ R } \{a+\sqrt {-2}\ b|a,b\in\mathbb{R}\} {
a+−2 b∣a,b∈R},成员实际上在虚数域上,等于 { a + 2 b i ∣ a , b ∈ R } \{a+2b\ i|a,b\in\mathbb{R}\} {
a+2b i∣a,b∈R}同样加法和乘法是典型的加法和乘法. - Z m \mathbb{Z}_m Zm
{ 1 , 2 , . . . , m − 1 } \{1,2,…,m-1\} {
1,2,...,m−1},m为质数
m必须为质数:否则不能成域:逆元有问题
域的性质
- ∀ a ∈ F , 0 × a = a × 0 = 0 \forall a\in\mathbb{F},0\times a=a\times 0=0 ∀a∈F,0×a=a×0=0
- ∀ a , b ∈ F , i f a b = 0 , a = 0 o r b = 0 \forall a,b\in\mathbb{F},if\ ab=0,a=0\ or\ b=0 ∀a,b∈F,if ab=0,a=0 or b=0
上面两个应该很明显.
但是要注意基于域的定义, a × b a\times b a×b不一定等同于b个a相加.这一点要尤为注意.
映射和同构
映射就是一个域到另一个域的一一对应关系.类似于一元函数.
同构
F , k 为 两 个 域 , i f ∃ M a p p i n g δ , ∀ e l e m e n t a , b ∈ F , 有 δ ( a + b ) = δ ( a ) + δ ( b ) δ ( a × b ) = δ ( a ) × δ ( b ) 称 δ ( x ) 是 F , k 上 的 同 构 映 射 , 且 F , k 同 构 . \mathbb{F},\mathbb{k}为两个域,\\if \exists Mapping \delta,\forall element\ a,b\in\mathbb{F},有\\ \delta(a+b)=\delta(a)+\delta(b)\\ \delta(a\times b)=\delta(a)\times \delta(b)\\ 称\delta (x)是\mathbb{F},\mathbb{k}上的同构映射,且\mathbb{F},\mathbb{k}同构.\\ F,k为两个域,if∃Mappingδ,∀element a,b∈F,有δ(a+b)=δ(a)+δ(b)δ(a×b)=δ(a)×δ(b)称δ(x)是F,k上的同构映射,且F,k同构.
同构建立了两个域之间的联系,同构的域在某些性质上有相似的特征.
域的特征
定义
i f ∃ a , 使 得 ∀ x ∈ F , 有 a x = 0 则 称 域 F 的 特 征 为 a , 记 作 c h a r { F } = a . 如 果 不 存 在 , 则 特 征 为 0. if\ \exists a,使得\forall x\in\mathbb{F},有ax=0\\ 则称域\mathbb{F}的特征为a,记作char\{\mathbb{F}\}=a.\\ 如果不存在,则特征为0. if ∃a,使得∀x∈F,有ax=0则称域F的特征为a,记作char{
F}=a.如果不存在,则特征为0.
注意:这里的 a x = 0 ax=0 ax=0是指a个x相加,不是 a × x = 0 a\times x=0 a×x=0!!
性质
一 个 域 的 特 征 不 是 0 , 就 是 素 数 . 一个域的特征不是0,就是素数. 一个域的特征不是0,就是素数.
下面简单解释:
假设 a = c h a r { F } a=char\{\mathbb{F}\} a=char{
F}不是素数
则对于其性质 a m = 0 am=0 am=0,
对于分解因式 a = i × j a=i\times j a=i×j,
有 ( i × j ) m = 0 (i\times j)m=0 (i×j)m=0.
又对于零元0,有性质
( i × j ) m = 0 ⟺ i m = 0 (i\times j)m=0\iff im=0 (i×j)m=0⟺im=0
所以 ∃ i o r j ≤ a , i m = 0 , j m = 0 \exists i\ or\ j \leq a,im=0,jm=0 ∃i or j≤a,im=0,jm=0
不成立.
所以特征不是0就是一个质数.
( a ± b ) p n = a p n + b p n , c h a r { F } = p . (a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}+b^{p^n},char\{\mathbb{F}\}=p. (a±b)pn=apn+bpn,char{
F}=p.
这是有限域内的二项式定理.
对此简单的做一点解释:
由二项式定理,除去首位两项外其他的项都有:
C p n i = ( p n ) ! i ! ⋅ ( p n − i ) ! C_{p^n}^i=\frac{(p^n)!}{i!\cdot (p^n-i)!} Cpni=i!⋅(pn−i)!(pn)!
所以无论如何分子都会有一个 p n p^n pn(除非i=0,就是首尾两项),则明显地
p ∣ C p n i p|C_{p^n}^i p∣Cpni.
又中间项有a,b,由
p a = 0 , p b = 0 pa=0,pb=0 pa=0,pb=0,
中间项消去.
注意,这里的中间项 C p n i a i b p n − i C_{p^n}^i a^ib^{p^n-i} Cpniaibpn−i,是和特征定义相同的几个a相加,而不是域内定义的乘法.
下一篇将研究域上的多项式.
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