无理数 e e e，又称自然常数，是一个人为定义的数，约等于2.71828，我们在很多地方都能看到它的身影，如欧拉方程、自然对数中等等。
定义
e e e的定义式为： lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e x→∞lim(1+x1)x=e该式是两个重要极限中的其中一个，要理解该定义式的由来，就不得不先介绍一下指数增长模型
指数增长模型
指数增长模型可以用单细胞生物的二分裂来做形象的解释：已知细胞在1个增长周期内分裂一次，则分裂后的细胞总数为分裂前的两倍： N 分 裂 后 = 2 ∗ N 分 裂 前 N_{分裂后}=2*N_{分裂前} N分裂后=2∗N分裂前若在初始细胞数量为1的情况下，经过 x x x个分裂周期，则细胞总数(设为 Q Q Q)将会达到 2 1 ∗ 2 2 ∗ . . . ∗ 2 x = 2 x 2_1*2_2*…*2_x=2^x 21∗22∗...∗2x=2x个，表达为： Q = 2 x Q=2^x Q=2x已知细胞初始数量为1，且每个周期的增长率为 100 % 100\% 100%，因此上式亦可写做： Q = ( 1 + 100 % ) x Q=(1+100\%)^x Q=(1+100%)x这便是单细胞生物二分裂的指数增长模型
当该式应用在描述更广泛的事物的增长规律时，其增长率通常不会是 100 % 100\% 100%，因此我们用一个未知数 r r r来代替增长率，这样就得到了更一般的指数增长模型： Q = ( 1 + r ) x Q=(1+r)^x Q=(1+r)x其含义是：某个事物在一个周期内的增长率为 r r r，在增长 x x x个周期之后，其总数量是原始数量的 Q Q Q倍
定义式的由来
为了更加生动的解释为什么定义式 lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x limx→∞(1+x1)x等于 e e e，这里引入经济学中的复利率概念：
- 复利率：是指利息除了会根据本金计算得到外，新得到的利息同样可以生息的一种利息计算方式。
假设有一银行采用复利率的方式来计算利息，你希望在该银行存1元钱本金1年，银行的年利率(增长率)为100%。这样假设的目的是为了得到更一般的公式，其他情况皆可由一般公式变换得到其特殊公式。
若你没有注意到该银行采用复利率来计算利息，则你很可能会直接存够一年，这样的话一年后你将会得到 Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % ) 1 = 2 元 Q=(1+r)^x=(1+100\%)^1=2元 Q=(1+r)x=(1+100%)1=2元的本金加利息
可是你足够仔细，注意到了银行的利息计算方式为复利率，于是你便想尽可能多的在这一年中取出本息再全部存入，以获得更多的回报，于是你计算了一下
- 假设每半年便取出一次，则由于存款时间只有原来的 1 2 \frac{1}{2} 21，因此利率只能看做年利率的 1 2 \frac{1}{2} 21。
1年后这种方法得到的本息为： Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % 2 ) 2 = 2.2500 元 Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{2})^2=2.2500元 Q=(1+r)x=(1+2100%)2=2.2500元 - 假设每三个月便取出一次，则由于存款时间只有原来的 1 4 \frac{1}{4} 41，因此利率只能看做年利率的 1 4 \frac{1}{4} 41。
1年后这种方法得到的本息为： Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % 4 ) 4 = 2.4414 元 Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{4})^4=2.4414元 Q=(1+r)x=(1+4100%)4=2.4414元 - 假设每个月便取出一次，则由于存款时间只有原来的 1 12 \frac{1}{12} 121，因此利率只能看做年利率的 1 12 \frac{1}{12} 121。
1年后这种方法得到的本息为： Q = ( 1 + r ) x = ( 1 + 100 % 12 ) 12 = 2.6130 元 Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{12})^{12}=2.6130元 Q=(1+r)x=(1+12100%)12=2.6130元
计算复利率的过程进行到这里， e e e的定义式已经呼之欲出，就是重要极限之一的： lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e x→∞lim(1+x1)x=e
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