在调试三轴跟踪云台时遇到了PID控制问题。研究过程中不可避免用到自动控制系统的性能指标，学习总结了一下经典教材中的相关内容。本文包括如下内容：
- 控制系统的数学模型
- 时域模型
- 复域模型
- 控制系统的性能指标
- 典型输入信号
- 动态过程与动态性能指标
- 稳态过程与稳态性能指标
控制系统的数学模型
在控制系统的分析设计中，首先要建立控制系统的数学模型，数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间的关系的数学表达式。建立控制系统数学模型的方法通常有分析法和实验法两种。
分析法
需要已知系统各部分依据的物理规律或化学规律列出相应方程。
实验法
实验法人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方式又称为系统辨识。
在使用分析法进行系统建模时，常见的模型有时域模型、复域模型。
时域模型
复域模型
使用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型：传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统结构或参数变化对系统性能的影响。
传递函数定义
线性定常系统的传递函数G(s)，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换C(s)，与输入量的拉氏变换R(s)之比。
传递函数的性质
- 传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。
- 传递函数是一种用系统参数表示输入量与输出量之间关系的表达式，只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关。
- 传递函数与微分方程有相通性，两者（两个类型的系统模型）可以用d/dt与s互相置换的方式变换。
- G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)，即脉冲函数δ(t)输入时的输出响应。
控制系统的性能指标
控制系统性能评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应(我们关注的性质)。必须了解输入信号（即外作用）的解析表达式。然而在一般情况下，外加输入有随机性无法预知。
典型输入信号
研究分析系统的性能指标时，通常选择若干典型输入信号作为动态性能指标和稳态性能测试之用，典型输入信号包括：
- 单位阶跃函数
- 单位斜坡函数
- 单位加速度函数
- 单位脉冲函数
- 正弦函数
实际中采用上述哪种典型输入信号取决于系统常见的工作状态。同时，在所有可能的输入信号中，选择最不利的信号作为典型输入信号测试系统指标。在典型输入信号作用下，任何控制系统的时间响应都有动态过程和稳态过程两部分组成。因此，系统的时间响应、动态、稳态过程与动态、稳态性能指标以及典型输入信号的关系如下图所示。
动态过程与动态性能指标
动态过程
动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦及其他原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数的选择，动态过程表现为衰减、发散、等幅振荡等形式。
动态性能
系统的动态过程提供系统稳定性、响应速度及阻尼情况，由动态性能指标描述。通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。系统的单位阶跃响应如下图所示。
上升时间（rise time）tr
指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间tr是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。
峰值时间 tp
指响应超过其终值达到第一个峰值所需的时间。上升时间tp是系统响应速度的一种度量。
调节时间（settingtime）ts
指响应到达并保持在终值±5%(或±2%)内所需的最短时间。调节时间ts是评价系统响应速度和阻尼程度的综合指标。
超调量（overshoot）：σ %
指响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之比的百分数，即
若c(tp)
σ
%
评价系统的阻尼程度。
稳态过程与稳态性能指标
稳态过程
稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称为稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述。
稳态性能——稳态误差（steady-state error）
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间区域无穷时，系统的输出量不等于输入量或者输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
参考文献：
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