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一、李雅普诺夫关于稳定性的定义
系统 x ˙ = f ( x , t ) \dot x=f(x,t) x˙=f(x,t),若存在状态 x e x_e xe满足 x ˙ e ≡ 0 \dot x_e\equiv 0 x˙e≡0,则该状态为平衡状态
1.李氏意义下的稳定
系统对于任意选定的实数 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,都存在一个实数 δ > 0 \delta>0 δ>0,当满足 ∣ ∣ x 0 − x e ∣ ∣ ≤ δ ||x_0-x_e||\leq\delta ∣∣x0−xe∣∣≤δ
从任意 x 0 x_0 x0出发的解都满足 ∣ ∣ Φ − x e ∣ ∣ ≤ ε ||\Phi-x_e||\leq\varepsilon ∣∣Φ−xe∣∣≤ε
则称平衡状态为李氏意义下的稳定
2.渐近稳定
解最终收敛于 x e x_e xe
3.大范围渐近稳定
从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态 x e x_e xe为大范围内渐近稳定
4.不稳定
不管 δ \delta δ有多小，只要由 S ( δ ) S(\delta) S(δ)内出发的状态轨迹超出 S ( ε ) S(\varepsilon) S(ε) 以外，则称此平衡状态是不稳定的
二、李雅普诺夫第一法
1.线性系统的稳定判据
2.非线性系统的稳定判据
非线性系统状态方程 x ˙ = f ( x ) \dot x=f(x) x˙=f(x)
f ( x ) = [ f 1 , f 2 ⋯ f n ] f(x)=[f_1,f_2\cdots f_n] f(x)=[f1,f2⋯fn]
向量函数的雅可比矩阵：
原非线性状态方程化为线性状态方程 Δ x ˙ = ∂ f ∂ x T Δ x \Delta\dot x=\frac{\partial f}{\partial x^T}\Delta x Δx˙=∂xT∂fΔx
其中 Δ x = x − x e \Delta x=x-x_e Δx=x−xe
然后可套用线性系统的稳定判据
三、李雅普诺夫第二法
1.标量函数的定号性
V ( x ) V(x) V(x)为x所定义的标量函数，对于任何非零矢量x，如果：
1） V ( x ) > 0 V(x)>0 V(x)>0,则为正定的
2） V ( x ) ≥ 0 V(x)\geq0 V(x)≥0,则为半正定的
3） V ( x ) < 0 V(x)<0 V(x)<0,则为负定的
3） V ( x ) ≤ 0 V(x)\leq0 V(x)≤0,则为半负定的
2.稳定性原理
1、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)负定，在原点是渐近稳定的
并且如果 ∣ ∣ x ∣ ∣ − > ∞ , V ( x ) − > ∞ ||x||->\infty,V(x)->\infty ∣∣x∣∣−>∞,V(x)−>∞,则系统是大范围渐近稳定的
2、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)半负定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 不恒为 0,在原点是渐近稳定的
3、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)半负定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定
4、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)正定，在原点是不稳定的
5、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)正半定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 不恒为 0,在原点是不稳定的
6、 V ( x ) V(x) V(x)正定, V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)正半定，在非零状态 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x) 恒为 0,在原点是李氏意义下的稳定
四、李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
选定正定二次型函数 V ( x ) V(x) V(x)为李氏函数
V ( x ) = x T P x V(x)=x^TPx V(x)=xTPx
V ˙ ( x ) = x T ( P A + A T P ) x \dot V(x)=x^T(PA+A^TP)x V˙(x)=xT(PA+ATP)x
令 Q = − ( P A + A T P ) Q=-(PA+A^TP) Q=−(PA+ATP)
如果Q正定，则系统是大范围渐进稳定的
判定稳定性的步骤：
1、选取正定矩阵Q（通常是单位阵）
2、由 Q = − ( P A + A T P ) Q=-(PA+A^TP) Q=−(PA+ATP)求P
3、判断P的正定性
4、稳定性结论
五、李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
1.雅可比矩阵法
x ˙ = f ( x ) \dot x=f(x) x˙=f(x)
判定稳定性的步骤：
1、求雅可比矩阵
2、克拉索夫斯基表达式： Q ( x ) = − [ J T + J ] Q(x)=-[J^T+J] Q(x)=−[JT+J]
3、判断Q的正定性
4、稳定性结论
PS：克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件不是必要条件
2.变量梯度法
1、设 ∇ V = \nabla V= ∇V=
2、 V ˙ ( x ) = ( ∇ V ) T x ˙ \dot V(x)=(\nabla V)^T\dot x V˙(x)=(∇V)Tx˙
限定 V ˙ ( x ) \dot V(x) V˙(x)为负定
3、利用 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n−1)个旋度方程确定 ∇ V \nabla V ∇V中的未知数
4、计算并验证V正定性
5、确定系统渐进稳定的范围
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