拉普拉斯变换：
正变换： F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt F(s)=L[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−stdt
逆变换： f ( t ) = L − 1 [ f ( s ) ] = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ F ( s ) e s t d s f(t)=\mathscr{L}^{-1}[f(s)]=\frac{ 1 }{2\pi j }\int_{\sigma- j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{s t}ds f(t)=L−1[f(s)]=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds
其中：s= σ + j ω {\sigma+j \omega} σ+jω
常见信号的拉氏变换：
| 信号类型 | 拉普拉斯变换 |
|---|---|
| 阶跃信号 | ε ( t ) ← → 1 s , R e [ s ] > 0 \varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ 1 }{s } ,Re[s]>0 ε(t)←→s1,Re[s]>0 |
| 单边指数信号 | e − α t ε ( t ) ← → 1 s + α , R e [ s ] > − α e^{-\alpha t}\varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{1}{s+\alpha},Re[s]>-\alpha e−αtε(t)←→s+α1,Re[s]>−α |
| 单边正弦信号 | sin ω t ε ( t ) ← → ω s 2 + ω 2 , R e [ s ] > 0 \sin \omega t\varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ \omega }{s^2+\omega ^2},Re[s]>0 sinωtε(t)←→s2+ω2ω,Re[s]>0 |
| 单边余弦信号 | cos ω t ε ( t ) ← → s s 2 + ω 2 ， R e [ s ] > 0 \cos \omega t \varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ s }{s^2+\omega ^2}， Re[s]>0 cosωtε(t)←→s2+ω2s，Re[s]>0 |
| 单边衰减正弦 | e − α t sin ω t ε ( t ) ← → ω ( s + α ) 2 + ω 2 R e [ s ] > − α e^{-\alpha t} \sin\omega t \varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{ \omega }{(s+\alpha)^2+\omega^2 } Re[s]>-\alpha e−αtsinωtε(t)←→(s+α)2+ω2ωRe[s]>−α |
| t的正幂信号 | t n ε ( t ) ← → n ! s n + 1 , R e [ s ] > 0 t^n \varepsilon(t)\leftarrow\rightarrow\frac{n! }{s^{n+1} }, Re[s]>0 tnε(t)←→sn+1n!,Re[s]>0 |
| 冲激信号 | δ ( t ) ← → 1 , R e [ s ] > − ∞ \delta(t)\leftarrow\rightarrow1,Re[s]>-\infty δ(t)←→1,Re[s]>−∞ |
| δ ′ ( t ) ← → s , R e [ s ] > − ∞ \delta{\prime}(t)\leftarrow\rightarrow s,Re[s]>-\infty δ′(t)←→s,Re[s]>−∞ | |
| δ ( t − t 0 ) ← → e − s t 0 , R e [ s ] > − ∞ \delta (t-t_0)\leftarrow\rightarrow e^{-s t_0},Re[s]>-\infty δ(t−t0)←→e−st0,Re[s]>−∞ |
拉氏变换性质：
线性： a 1 f 1 ( t ) + a 2 f 2 ( t ) a_1 f_1(t)+a_2 f_2(t) a1f1(t)+a2f2(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → a 1 F 1 ( s ) + a 2 F 2 ( s ) a_1 F_1(s)+a_2 F_2(s) a1F1(s)+a2F2(s)
时域微分： d f ( t ) d t \frac{d f(t)}{dt } dtdf(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → s F ( s ) − f ( 0 − ) s F(s)-f(0_-) sF(s)−f(0−)
d 2 f ( t ) d t \frac{d^2 f(t)}{dt } dtd2f(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → s 2 F ( s ) − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − ) s^2 F(s)-sf(0_-)-f{\prime}(0_-) s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)
d n f ( t ) d t \frac{d^n f(t)}{dt } dtdnf(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → s n F ( s ) s^n F(s) snF(s)– s n − 1 f ( 0 − ) s^{n-1}f(0_-) sn−1f(0−)-…- f ( n − 1 ) ( 0 − ) f^{(n-1)}(0_-) f(n−1)(0−)
时域积分： ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau ∫−∞tf(τ)dτ ← \leftarrow ← → \rightarrow → F ( s ) s \frac{F(s)}{s } sF(s)+ f ( − 1 ) ( 0 − ) s \frac{f^{(-1)}(0_-)}{s } sf(−1)(0−)
有始函数： d f ( t ) ε ( t ) d t \frac{df(t)\varepsilon(t)}{dt } dtdf(t)ε(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → S F ( s ) SF(s) SF(s)
∫ 0 − t f ( τ ) d τ \int_{0_-}^{t}f(\tau)d\tau ∫0−tf(τ)dτ ← \leftarrow ← → \rightarrow → F ( s ) s \frac{F(s)}{s } sF(s)
= > t ε ( t ) = ∫ 0 − t ε ( τ ) d τ =>t \varepsilon(t)=\int_{0_-}^{t}\varepsilon(\tau)d\tau =>tε(t)=∫0−tε(τ)dτ ← \leftarrow ← → \rightarrow → 1 s 2 \frac{1}{s^2 } s21
延时特性(时域平移)： f ( t − t 0 ) ε ( t − t 0 ) f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0) f(t−t0)ε(t−t0) ← \leftarrow ← → \rightarrow → e − s t 0 F ( s ) , t 0 > 0 e^{-s t_0}F(s),t_0>0 e−st0F(s),t0>0
S域平移： f ( t ) e − s t 0 f(t)e^{-s t_0} f(t)e−st0 ← \leftarrow ← → \rightarrow → F ( s + s 0 ) F(s+s_0) F(s+s0)
尺度变换： f ( a t ) f(at) f(at) ← \leftarrow ← → \rightarrow → 1 a F ( s a ) , ( a > 0 ) \frac{1}{a }F(\frac{s}{a }),(a>0) a1F(as),(a>0)
初值定理： f ( 0 + ) = lim t → 0 + f ( t ) = lim s → ∞ s F ( s ) （ 当 F ( s ) 是 真 分 式 时 成 立 ） f(0^+)=\lim_{t\rightarrow0_+}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s) （当F(s)是真分式时成立） f(0+)=limt→0+f(t)=lims→∞sF(s)（当F(s)是真分式时成立）
终值定理： f ( ∞ ) = lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) （ F ( s ) 极 点 在 复 频 域 左 半 平 面 ） f(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s) （F(s)极点在复频域左半平面） f(∞)=limt→∞f(t)=lims→0sF(s)（F(s)极点在复频域左半平面）
卷积定理：时域 f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) f_1(t)*f_2(t) f1(t)∗f2(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → F 1 ( s ) . F 2 ( s ) F_1(s).F_2(s) F1(s).F2(s)
卷积定理：频域 f 1 ( t ) . f 2 ( t ) f_1(t).f_2(t) f1(t).f2(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → 1 2 π j F 1 ( s ) ∗ F 2 ( s ) \frac{1}{2\pi j }F_1(s)*F_2(s) 2πj1F1(s)∗F2(s)
复频域微分： − t f ( t ) -tf(t) −tf(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → d ( F ( s ) d s \frac{d(F(s)}{ds} dsd(F(s)
复频域微分： f ( t ) t \frac{f(t)}{t} tf(t) ← \leftarrow ← → \rightarrow → ∫ s ∞ F ( η ) d η \int_s^{\infty}F(\eta)d\eta ∫s∞F(η)dη
序列傅里叶变换（DTFT:discrete time Fourier transform）
正变换： $$
逆变换：
性质：序列位移：
性质：频域位移：
性质：线性加权： D T F T [ n x ( n ) ] = j [ d d ω X e ( j ω ) ] DTFT [nx(n)]=j[\frac{d}{d \omega}X e^{(j\omega)}] DTFT[nx(n)]=j[dωdXe(jω)]
性质：序列反褶： D T F T [ x ( − n ) ] = X e ( − j ω ) DTFT [x(-n)]=X e^{(-j\omega)} DTFT[x(−n)]=Xe(−jω)
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