分段Hermite插值
分段线性插值多项式 S ( x ) S(x) S(x)在插值区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上只能保证连续性，而不光滑。要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite）插值，这里我们考虑在整个 [ a , b ] [a,b] [a,b]上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近 f ( x ) f(x) f(x)。一般的将带有导数的插值多项式称为Hermite插值多项式。
如果已知函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)在节点 a = x 0 < x 1 < … < x n = b a = x_0
a=x0<x1<…<xn=b
则在小区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi]上有四个插值条件：
故能构造一个三次多项式 H ( x ) H(x) H(x)，并称为三次Hermite插值多项式。这时在整个 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可以用分段三次Hermite插值多项式来逼近 f ( x ) f(x) f(x)。
其中 H i ( x ) , x ∈ [ x i − 1 , x i ] H_i(x),x\in[x_{i-1},x_i] Hi(x),x∈[xi−1,xi]满足条件：
关于 H i ( x ) H_i(x) Hi(x)的构造，我们可以通过基函数来进行，这时令：
其中 φ i − 1 ( x ) , φ i ( x ) , ψ i − 1 ( x ) , ψ i ( x ) \varphi_{i-1}(x),\varphi_{i}(x),\psi_{i-1}(x),\psi_{i}(x) φi−1(x),φi(x),ψi−1(x),ψi(x)均为三次多项式,并称为三次Hermite插值多项式的基函数。对上式两边关于 x x x求导，得到
下面具体求解基函数 φ i − 1 ( x ) , φ i ( x ) , ψ i − 1 ( x ) , ψ i ( x ) \varphi_{i-1}(x),\varphi_{i}(x),\psi_{i-1}(x),\psi_{i}(x) φi−1(x),φi(x),ψi−1(x),ψi(x)。由上面的条件的第一列可以得到 φ i − 1 ( x ) \varphi_{i-1}(x) φi−1(x)满足条件：
由上式中的第二、第四个条件可知 φ i − 1 ( x ) \varphi_{i-1}(x) φi−1(x)应该具有形式（ φ i − 1 ( x ) \varphi_{i-1}(x) φi−1(x)是三次多项式）：
这时：
再由（1）式中的第一、第三个条件分别代入（2），（3）式得到：
其中 h i = x i − x i − 1 h_i=x_i-x_{i-1} hi=xi−xi−1。
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