热传导方程有限差分法实现matlab,热传导方程有限差分法的MATLAB实现-史策

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1、理论物理与应用物理学研究 收稿日期 ：2009-04-20 作者简介 ： 史 策 (1986-)，男 ，陕西兴平市人 ，西安建筑科技大学理学院硕士研究生 ，研究方向为微分方程数值解法 。 2009 年 7 月 咸阳师范学院学报 Jul.2009 第 24 卷 第 4 期 Journal of Xianyang Normal University Vol.24 No.4 近些年来 ，求解热传导方程的数值方法 1 取得进 展 ，特别是有限差分区域分解算法 2 ，此类算法的特 点是在内边界处设计不同于整体的格式 ， 将全局的 隐式计算化为局部的分段隐式计算 。 使人从感觉上 认为这样得到的解会比全局。

2、隐式得到的解的精度 差 ，但大量的数值实验表明事实正好相反 ，用区域分 解算法求得的解的精度更好 。 MATLAB 具有强大的图形绘制功能 3 ，为科学 计算和图形处理提供了很大的方便 。 用户只须指定 绘图方式 ,并提供充足的绘图数据 ,用很少的程序指 令就可得到直观 、形象的图形结果 。 因此 ，近些年 来 ， 越来越多的人开始使用 MATLAB 来求解热传 导方程 4，5 。 借助 MATLAB 的数值计算和图形处理 技术 6 ，我们可以绘制出热传导方程数值解的二维 、三 维图形 ，从而可以更好地理解热传导方程解的意义 。 一维热传导方程 坠u 坠t =a 2 坠 2 u 坠x 2 ， 。

3、是最简单的偏微分方程之一 ， 其定解问题的数值解 法主要有有限元法和有限差分法等 ， 对于有限元法 来说 ，适用处理复杂区域 、精度可选 ；缺点在于内存 和计算量巨大 ， 不易编程实现 。 对于有限差分法来 说 ，虽然比较直观 、理论也比较成熟 、精度可选 ；但是 不规则区域处理繁琐 ， 网格生成可以使有限差分方 法 7 (FDM)应用于不规则区域 ，但是对区域的连续性 等要求较严 。 适用 FDM 的好处在易于编程 ，易于并 行 。 鉴于以上情况 ，本文考虑以下边界值问题 ： 坠u 坠t =a 2 坠 2 u 坠x 2 ，0l,t0 u| x=0 =0,u| x=l =0, t0 u| x=。

4、0 =sin x l ! ,0 x # % % $ % % clc; formatshorte a=input(请输入系 数 a的 值 ：); l=input(请输入长 度 l的 值 ：); M=input(请输入将区 间 0,l等分的个 数 M：); ot=input(请输入时间增 量 ot的 值 ：); n=input(请输入运行次 数 n的 值 ：); ox=l/M;x0=zeros(M+1,1); forii=1:M x0(ii+1)=ii*ox; end u=sin(pi*x0/l);%t=0时 u(x,t)的 值 r=a2*ot/(ox)2; forii=1:n %数据的输 入 B。

5、=zeros(M-1,1);%存放系数矩阵主对角线元素 A=zeros(M-2,1);%存放系数 矩阵主对角线元素下 方次对角线的元素 C=zeros(M-2,1);%存放系数矩阵主对角线元素上 方次对角线的元素 S=zeros(M-1,1);%存放右端的常数项 forii=1:M-2 B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end B(M-1)=1+2*r;S(M-1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1, 2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M-1,1)=S(M-1,1)+r*u (M+1,2); %。

6、追赶 法 S(1)=S(1)/B(1);T=B(1);k=2; whilek=M B(k-1)=C(k-1)/T; T=B(k)-A(k-1)*B(k-1); S(k)=(S(k)-A(k-1)*S(k-1)/T; k=k+1; end k=1; whilek=M-1 S(M-1-k)=S(M-1-k)-B(M-1-k)*S(M-k); k=k+1; end u(2:M,2)=S;%把结果放入矩 阵 u中 u(:,1)=u(:,2);%过河拆 桥 end %计算精确 值 ，存放 在 u的第二 列 forx=0:M u(x+1,2)=exp(-(pi*a/l)2*n*ot)*sin(pi*x*o。

7、x/l); t T n+1 n n-1 0j-1jj+1lx (j-1,n) (j,n) (j+1,n) (j,n-1) x t 图 1热传导方程隐格式网格划分 誗誗 誗 誗 2 / 4 第 4 期 史 策 ：热传导方程有限差分法的 MATLAB 实现 29 end %计算最大相对误差 ez=zeros(M-1,1); for ii=2:M ez(ii-1)=abs(u(ii,1)-u(ii,2)/u(ii,2); end E=max(ez); fprintf ( 最后时刻数值解与精确解分别为 :n);disp (u); fprintf ( 差分法得到的结果与正确结果的最大相对 误差为 ：);。

8、 disp(num2str(E*100) %); %画二维图比较 plot(x0,u(:,1),r:,x0,u(:,2),b-); legend( 数值解 , 精确解 ) xlabel(x),ylabel(u(x,t) title( 最后时刻热传导问题数值解与精确解比较 )。 4 运行结果分析 通过输入数据 ： 输入系数 a 的值 ：1 输入长度 l 的值 ：1 输入将区间 0，l等分的个数 M：8 输入时间增量 ot 的值 ：0.001 输入运行次数 n 的值 ：90 可以看到最后时刻数值解与精确解如表 1所示 。 差分法得到的数值解与精确解的最大相对误差为 ： 1.572 3%。 若数值解。

9、的误差 j 在一定的范数下满足不等式 | j |燮C| 0 |,(j叟1)( 0 为初始层误差 ),则热传导方程的 数值解是稳定收敛的 ，可以从表 1 中看出 ，数值解和 精确解的误差非常小 ， 在图 2 中几乎看不出数值解 与精确解的差异 。 5 结 语 本文利用 MATLAB 数学软件来求解热传导方 程 ，通过区域转化的思想 ，把热传导方程离散化 ，再 利用 MATLAB 软件对其进行求解 ，数值表明了方法 的可行性和稳定性 。 参考文献 ： 1曹 钢 ,王桂珍 ,任晓荣 .一维热传导方程的基本解 J.山东轻 工业学院学报 , 2005,19(4):76-80. 2万正苏 ，方春华 ，张再。

10、云 .关于热传导方程有限差分区域分 解并行算法精度的注记 J.湖南理工学院学报 (自然科学 版 )，2007 ,20(3)：12-14. 3StephenJ.Chapman.MATLAB 编程 M.邢树军 ，郑碧波 ，译 . 北京 ：科学出版社 ，2008. 4田 兵 .用 MATLAB 解偏微分方程 J.阴山学刊 ，2006,20(4): 12-13. 5王 飞 ，裴永祥 .有限差分方法的 MATLAB 编程 J.新疆师 范大学学报 (自然科学版 )，2003,22(4):21-27. 6王宝红 .热传导方程的可视化探讨 J.忻州师范学院学报 , 2008,24(2):31-36. 7李先枝。

11、 .热传导方程差分解法的最佳网格 J.河南大学学报 (自然科学版 )，2004,34(3):16-18. 8赵德奎 ，刘 勇 .MATLAB 在有限差分数值计算中的应用 J. 四川理工学院学报 ，2005，18(4):61-64. 9谢焕田 ，吴 艳 .拉普拉斯有限差分法的 MATLAB 实现 J. 四川理工学院学报 ，2008，21(3):1-2. 10南京大学数学系计算数学专业 .偏微分方程数值解法 M. 北京 ：科学出版社 ，1979. 表 1 最后时刻数值解与精确解 数值解 精确解 0 0 1. 599 0e-001 1. 599 0e-001 2. 954 6e-001 2. 908。

12、 8e-001 3. 860 3e-001 3. 800 6e-001 4. 178 4e-001 4. 113 7e-001 3. 860 3e-001 3. 800 6e-001 2. 954 6e-001 2. 908 8e-001 1. 599 0e-001 1. 574 2e-001 0 5. 037 8e-017 (下转第 36 页 ) 3 / 4 Heat Conduction Equation Finite Difference Method to Achieve the MATLAB SHI Ce (School of Science, Xian University of 。

13、Architecture and Technology, Xian, Shaanxi , China) Abstract:For bounded homogeneous heat conduction equation of the mixed problem,separation of variables method used is often very complex. In order to better understand the heat conduction equation, it is useful to apply the MATLAB software eq。

14、uation by images expression. Though which transforms through the region, which is pro- gramming using MATLAB heat conduction equation of a certain region of the finite difference method,and numer- ical method demonstrates the feasibility and stability. Key words: heat conduction equation; finite dif。

15、ference; MATLAB 36 咸阳师范学院学报 第 24 卷 tion of organic pollutants on nitrogen and fluoride co-doped TiO 2 photocatalyst J. Journal of Environmental Sciences, 2005, 17(1):76-80. 9Ohno T, Akiyoshi M. Preparation of S-doped TiO 2 photocata- lysts and their photocatalytic activities under visible light J. A。

16、pplied Catalysis A: 2004, 265: 115-121. 10Umebayashi T, Yamaki T. Analysis of electronic structures of 3d transition metal-doped TiO 2 based on band calculations J. Journal of Physics and Chemistry of Solids, 2002, 63: 1909-1920. 11Balachandran U, Eror N G. Laser-induced vapourphase syn- thesis of t。

17、itanium dioxide J. Journal of Solid State Chem- istry, 1982, 42: 276-282. 12Melendres C A. Raman spectroscopy of nanophase TiO 2 SourceJ.MaterialsResearchBulletin,1989，4(5):1246-1250. 13Parker J C, Siegel R W. Raman microprobe study of nanophase TiO 2 and oxidation-induced spectral changes J. Materi。

18、als Research Bulletin, 1990, 5(6): 1 246-1 249. 14 Arai T, Yanagida M, Konishi Y. Effficient complete oxida- tion of acetaldehyde in to CO 2 over CuBi2O4/WO 3 composite photocatalyst under visible and UV lignt irradiation J. Phys- ical Chemistry, 2007, 111(21):7 574-7 577. Preparation of TiO 2 Photo。

19、catalyst Coupling Doped with S and N Elements YU Zhan-jiang，WANG Xiao-fang (School of Chemistry and Chemical Engineering, Xianyang Normal University, Xianyang, Shaanxi , China ) Abstract: Using tetrabutyl titanate as Ti source, glacial acetic acid as a hydrolyzed inhibitor and DL-methion- ine 。

20、as a small molecule dopant, a TiO 2 photocatalyst coupling doped with S and N nonmetallic elements was pre- pared via Sol-Gel method. XPS analysis shows that N 2- incorporates into the TiO 2 crystal lattice and replaced partly O 2- , and that the S 4+ and S 2- also incorporate into the TiO 2 crystal。

21、 lattice and substitute partial Ti 4+ and O 2- respec- tively. Hence the formation of S and N coupling-doping on TiO 2 gets achieved. XRD diffraction indicates the S and N coupling doped TiO 2 photocatalysts all exist in the phase of anatase, which demonstrate that S and N cou- pling-doping features。

22、 stronger effect on restraining the TiO 2 crystal phase transformation from anatase to rutile. Optical property analysis presents that the S and N coupling-doping has effect not only on extending absorption edge of photocatalyst to visible light region but on keeping the ultraviolet light absorption nearly unchanged. Key words: photocatalyst; coupling-doping; titanium dioxide; Sol-Gel (上接第 29 页 ) 4 / 4 。