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一、正交函数族和正交多项式
1.1 定义
1.2 正交多项式的构造
注： φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x)是最高次项系数为1的 n n n次多项式。
1.3 正交多项式的性质
(1) 正交多项式 φ 0 ( x ) \varphi_0(x) φ0(x), φ 1 ( x ) \varphi_1(x) φ1(x),…, φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x)线性无关.
(2) 任一 n n n次多项式$P_n(x)均可表示为 φ 0 ( x ) \varphi_0(x) φ0(x), φ 1 ( x ) \varphi_1(x) φ1(x),…, φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x)的线性组合。
以上性质证明参见课本P58。
二、常用的正交多项式⭐
2.1 Legendre(勒让德)多项式
这里的权函数 ρ ( x ) \rho_(x) ρ(x) =1
- 定义
- 性质
- 正交性
- 递推关系
- 奇偶性
2.2 切比雪夫多项式
这里的权函数 ρ ( x ) = 1 1 − x 2 \rho_(x) = \dfrac {1} {\sqrt{1 – x^2} } ρ(x)=1−x21
- 定义
- 性质
T n ( x ) T_n(x) Tn(x)是 n n n次多项式
- 奇偶性
- 正交性
最小零偏差问题
即： P n ( x ) P_n(x) Pn(x)为0在给定的有界闭区间上最佳一致逼近。
最小0偏差多项式可由 T n ( x ) T_n(x) Tn(x)获得。
- 最佳一致逼近
在[-1,1]上所有首项系数为1的n次多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn(x)中, 2 1 − n T n ( x ) 2^{1-n}T_n(x) 21−nTn(x)对0的偏差最小：
- 例题
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