Multinomial多项式
假设一个实验有 k k k个相互独立的结果: R 1 , R 2 , . . . R k R_1, R_2, … R_k R1,R2,...Rk对应发生的概率分别是： p 1 , p 2 , . . . p k p_1, p_2, …p_k p1,p2,...pk。且 ∑ i = 1 k p i = 1.0 \sum_{i=1}^k p_i = 1.0 ∑i=1kpi=1.0。独立重复 n n n次实验，每一种实验结果发生的次数可以用随机变量 x 1 , x 2 , . . x k x_1, x_2, .. x_k x1,x2,..xk来表示， ∑ i = 1 k x i = n \sum_{i=1}^k x_i = n ∑i=1kxi=n。
x i x_i xi的概率分布：
P ( x 1 , . . . , x k ) = n ! [ x 1 ! . . . x k ! ] p 1 x 1 . . . p k x k P(x_1, …, x_k) = \frac{n!}{[x_1!…x_k!]p_1^{x_1} … p_k^{x_k}} P(x1,...,xk)=[x1!...xk!]p1x1...pkxkn!
x i x_i xi的边际（期望和方差）：
E ( x i ) = n p i E(x_i) = np_i E(xi)=npi
V ( x i ) = n p i ( 1 − p i ) V(x_i) = np_i(1 – p_i) V(xi)=npi(1−pi)
生成多项式随机变量
已知：多显示变量: ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) (x_1, x_2, …,x_k) (x1,x2,...,xk)，发生的概率: ( p 1 , P 2 , . . . p k ) (p_1, P_2, …p_k) (p1,P2,...pk)
- i = 1 → k i = 1 \to k i=1→k
- p i ′ = p i / ∑ j = i k p j p_i’ = p_i / \sum_{j=i}^k p_j pi′=pi/∑j=ikpj
- n i ′ = n − ∑ j = 1 i − 1 x j n_i’ = n – \sum_{j=1}^{i-1} x_j ni′=n−∑j=1i−1xj
- 生成一个随机的二项式变量： x i ∼ B i n o m i a l ( n i ′ , p i ′ ) x_i \sim Binomial(n_i’, p_i’) xi∼Binomial(ni′,pi′)
- ( x 1 , x 2 , . . . x k ) (x1, x_2, … x_k) (x1,x2,...xk)
例：假设一个实验只有三种结果可能发生，概率分别是:0.5, 0.3, 0.2。假设重复进行五次的独立实验，这种情况下每种情况出现的次数,即：随机的多项式变量： x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3 x1,x2,x3可能是多少？
- i = 1 ， n 1 ′ = 5 ， p 1 ′ = 0.5 ， B i n o m i a l ( 5 ， 0.5 ) = 2 , x 1 = 2 i = 1，n_1′ = 5，p_1′ = 0.5， Binomial(5， 0.5) = 2, x_1 = 2 i=1，n1′=5，p1′=0.5，Binomial(5，0.5)=2,x1=2
- i = 2 ， n 2 ′ = 3 ， p 2 ′ = 0.3 / ( 0.3 + 0.2 ) = 0.6 ， B i n o m i a l ( 3 , 0.6 ) = 2 , x 2 = 2 i = 2， n_2′ = 3，p_2′ = 0.3/(0.3+0.2) = 0.6， Binomial(3, 0.6) = 2, x_2 = 2 i=2，n2′=3，p2′=0.3/(0.3+0.2)=0.6，Binomial(3,0.6)=2,x2=2
- i = 3 ， n 3 ′ = 1 ， p 3 ′ = 0.2 / 0.2 = 1.0 ， B i n o m i a l ( 1 , 1.0 ) = 1 , x 3 = 1 i = 3， n_3′ = 1， p_3′ = 0.2/0.2 = 1.0， Binomial(1, 1.0) = 1, x_3 = 1 i=3，n3′=1，p3′=0.2/0.2=1.0，Binomial(1,1.0)=1,x3=1
- ( x 1 = 2 ， x 2 = 2 ， x 3 = 1 ) (x_1 = 2， x_2 = 2， x_3 = 1) (x1=2，x2=2，x3=1)
模拟生成多项式变量
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def generateMultinomial(n = 100, k=3, probas=[0.5, 0.3, 0.2]): x = [0, 0, 0] for i in range(k): p_ = probas[i]/np.sum(probas[i:]) n_ = n - np.sum(x[:i+1]) b = np.random.binomial(n_, p_) x[i] = b return x 
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