1.什么是插值
2.示例
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0 .8415 |
| 2 | 0.9093 |
| 3 | 0.1411 |
| 4 | -0.7568 |
| 5 | -0.9589 |
| 6 | -0.2794 |
上图为数据点在x,y平面的显示图
3.片段插值，最近邻插值
4.线性插值
假设我们已知坐标 ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) (x_0, y_0), (x_1, y_1) (x0,y0),(x1,y1)，当要求 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1]区间内任一位置x在该条直线上的值时，由初中数学知识我们就可以求解:
y − y 0 x − x 0 = y 1 − y 0 x 1 − x 0 \frac{y – y_0}{x – x_0} = \frac{y_1 – y_0}{x_1 – x_0} x−x0y−y0=x1−x0y1−y0
因为x值已知，从上面的公式很容易求得y的值。
∣ R T ∣ ≤ ( x 1 − x 0 ) 2 8 max x 0 ≤ x ≤ x 1 ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ |R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f”(x)| ∣RT∣≤8(x1−x0)2x0≤x≤x1max∣f′′(x)∣
正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。
5.多项式插值
如果将x=2.5带入，有f(2.5)=0.5965。一般情况下，如果我们有n个数据点，那么在所有的数据点中只有一个最多n-1次多项式可以完美拟合。此外，插值是一个多项式，因此是无限可微的。所以我们看到多项式插值克服了线性插值的大部分问题。但是，多项式插值也有一些缺点。与线性内插相比，计算内插多项式的成本是昂贵的。此外，多项式插值可能会出现振荡伪像，特别是在端点。
6. 样条曲线插值
线性插值对每个区间 x k , x k + 1 x_k, x_{k+1} xk,xk+1使用线性函数。 样条插值在每个间隔中使用低阶多项式，并选择多项式以使它们平滑地吻合在一起。 结果函数被称为样条曲线。例如，三次样条是分片段立方，两次连续可微。 此外，它的二阶导数在终点为零。 在上表中插入点的三次样条函数由下式给出
f ( x ) = { − 0.1522 x 3 + 0.9937 x , x ∈ [ 0 , 1 ] , − 0.01258 x 3 − 0.4189 x 2 + 1.4126 x − 0.1396 , x ∈ [ 1 , 2 ] , 0.1403 x 3 − 1.3359 x 2 + 3.2467 x − 1.3623 , x ∈ [ 2 , 3 ] , 0.1579 x 3 − 1.4945 x 2 + 3.7225 x − 1.8381 , x ∈ [ 3 , 4 ] , 0.05375 x 3 − 0.2450 x 2 − 1.2756 x + 4.8259 , x ∈ [ 4 , 5 ] , − 0.1871 x 3 + 3.3673 x 2 − 19.3370 x + 34.9282 , x ∈ [ 5 , 6 ] . f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x, \uad x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,\uad x \in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,\uad x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,\uad x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,\uad x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,\uad x\in [5,6].\end{cases}} f(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−0.1522x3+0.9937x,x∈[0,1],−0.01258x3−0.4189x2+1.4126x−0.1396,x∈[1,2],0.1403x3−1.3359x2+3.2467x−1.3623,x∈[2,3],0.1579x3−1.4945x2+3.7225x−1.8381,x∈[3,4],0.05375x3−0.2450x2−1.2756x+4.8259,x∈[4,5],−0.1871x3+3.3673x2−19.3370x+34.9282,x∈[5,6].
在这种情况下，我们得到 f(2.5) = 0.5972。 与多项式插值的方法相比较，样条跟多项式一样，其插值误差会小于线性插值，而且插值更平滑；使用样条会比使用高阶多项式更容易评估。 它也不会受到龙格现象的影响。
7.牛顿插值
总结上面的计算方法可以归纳出算法的大致思想：先计算差商表，类似于乘法口诀的思路，两个for循环就可以计算出，然后对于每一次内for循环以后，计算出了第一列，接着把相对应的f(x)计算出来，接着进入第二列的计算，接着计算相应的f(x)…一直到计算完毕最后一个f(x)，把所有的f(x)相加，便是最终的插值。
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