一、依概率收敛
设随机变量 X X X与随机序列 { X n } ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) \{X_n\}(n=1,2,3,···) {
Xn}(n=1,2,3,⋅⋅⋅)，如果对任意的 ϵ > 0 \epsilon >0 ϵ>0，有：
lim n → ∞ P { ∣ X n − X ∣ ≥ ϵ } = 0 或 lim n → ∞ P { ∣ X n − X ∣ ≤ ϵ } = 1 \lim_{n \to \infty} P\{ |X_n -X|\ge \epsilon \} = 0 \ 或 \ \lim_{n \to \infty} P\{ |X_n -X|\le \epsilon \} = 1 n→∞limP{
∣Xn−X∣≥ϵ}=0 或 n→∞limP{
∣Xn−X∣≤ϵ}=1
则称随机序列 { X n } \{X_n\} {
Xn}依概率收敛于随机变量 X X X，记为：
lim n → ∞ X n = X ( P ) 或 X n → P X ( n → ∞ ) \lim_{n \to \infty} X_n = X(P) \ 或 \ X_n \xrightarrow{P} X \ (n \to \infty) n→∞limXn=X(P) 或 XnPX (n→∞)
二、大数定律
1. 切比雪夫大数定律
假设 { X n } ( n = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ ) \{ X_n \}(n=1,2,3,···) {
Xn}(n=1,2,3,⋅⋅⋅)是相互独立的随机变量序列，如果方差 D X i ( i ≥ 1 ) DX_i(i\ge 1) DXi(i≥1)存在且一致有上界，即存在常数 C C C，使 D X i ≤ C DX_i \le C DXi≤C对一切 i ≥ 1 i\ge 1 i≥1均成立，则 { X n } \{ X_n \} {
Xn}服从大数定律：
1 n ∑ i = 1 n X i = 1 n ∑ i = 1 n E X i \frac 1 n \sum ^n _{i=1} X_i = \frac 1 n \sum ^n _{i=1} EX_i n1i=1∑nXi=n1i=1∑nEXi
2. 伯努利大数定律
假设 μ n \mu_n μn是 n n n重伯努利试验中事件 A A A发生的次数，在每次试验中事件 A A A发生的概率为 p ( 0 < p < 1 ) p(0
lim n → ∞ P { ∣ μ n n − p ∣ < ϵ } = 1 \lim _{n \to \infty} P \left\{ \left|\frac {\mu _n} {n} - p \right | < \epsilon \right\} = 1 n→∞limP{
∣∣∣nμn−p∣∣∣<ϵ}=1
3. 辛钦大数定律
假设 { X n } \{X_n\} {
Xn}是独立同分布的随机变量序列，如果 E X i = μ ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) EX_i=\mu(i=1,2,···) EXi=μ(i=1,2,⋅⋅⋅)存在，则 1 n ∑ i = 1 n X i → P μ \frac 1 n \sum \limits ^n _{i=1} X_i \xrightarrow{P} \mu n1i=1∑nXiPμ，即对任意 ϵ > 0 \epsilon >0 ϵ>0，有：
lim n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i − μ ∣ < μ } = 1 \lim _{n\to \infty} P \left\{ \left| \frac 1 n \sum ^n _{i=1} X_i - \mu \right | < \mu \right\} = 1 n→∞limP{
∣∣∣∣∣n1i=1∑nXi−μ∣∣∣∣∣<μ}=1
三、中心极限定理
1. 列维-林德伯格定理
假设 { X n } \{X_n\} {
Xn}是独立同分布的随机变量序列，如果 E X i = μ , D X i = σ 2 > 0 ( i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) EX_i = \mu,\ DX_i = \sigma ^2 >0 \ (i=1,2,···) EXi=μ, DXi=σ2>0 (i=1,2,⋅⋅⋅)存在，则对任意的实数 x x x，有：
lim n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n μ n σ ≤ x } = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t = Φ ( x ) \lim _{n \to \infty} P \left\{ \frac {\sum \limits^n _{i=1}X_i – n \mu} {\sqrt n \sigma } \le x \right\} = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int ^x _{- \infty} e^{- \frac {t^2} {2}dt} = \Phi (x) n→∞limP⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧nσi=1∑nXi−nμ≤x⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫=2π1∫−∞xe−2t2dt=Φ(x)
2. 棣莫弗-拉普拉斯定理
假设随机变量 Y n ∼ B ( n , p ) ( 0 < p < 1 , n ≥ 1 ) Y_n \sim B(n,p) \ (0
lim n → ∞ P { Y n − n p n p ( 1 − p ) ≤ x } = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t = Φ ( x ) \lim _{n \to \infty} P \left\{ \frac {Y_n – np} {\sqrt {np(1-p)} } \le x \right\} = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int ^x _{- \infty} e^{- \frac {t^2} {2}dt} = \Phi (x) n→∞limP{
np(1−p)Yn−np≤x}=2π1∫−∞xe−2t2dt=Φ(x)
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