线性代数笔记5——平面方程与矩阵

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线性方程的几何意义

二元线性方程

　　该方程是一个二元线性方程组，包含两个方程，每个方程是一条直线，两条直线的交点就是该方程有唯一解，这就是二元线性方程的几何意义。

平面方程

　　空间内不在同一直线上的三点构成一个平面，平面方程可表示为ax + by + cz = d。平面方程也称为三元线性方程。

　　方程x + 4y + z = 8，在xyz三个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8)，下图是该函数在坐标轴上的示意图：

　　需要注意的是，平面是无限延伸的。

根据法向量求平面方程

　　现在需要找到一个过原点的平面，它有一个过原点的法向量是<1, 5, 10>。

　　如上图所示，P

是所求平面上的向量，法向量
N⊥O
P，因此：

　　这就是平面方程。

　　再看一个稍微不同点的问题，一个平面的法向量是N<1, 5, 10>，该平面经过P0(2, 1, -1)，求该平面方程。

　　由于拥有同一个法向量，所以这是与上一个平面平行的平面：

　　平面上的任意点P1是(x, y, z)，向量P0P1⊥N：

　　上面两个方程唯一的不同点就是ax + by + cz = d 中的d，其它参数对应了穿过原点的法向量，实际上，d两个平行平面的距离。根据这个特点，可以很快求得第二个平面方程：

　　示例

　　向量V = <1, 2, -1>与平面x + y + 3z = 5的关系？

　　平面的法向量N = <1, 1, 3>，容易看出，V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 0，V⊥N，向量V与平面平行。需要注意的是，向量不是点（实际上向量有无数点），<1, 2, -1>不同于(1, 2, -1)，在没有特殊说明的情况下，可以认为向量从原点出发。如果向量V从原点出发，V经过点(1, 2, -1)，但该点并不在平面上。

平面方程组的解

　　三元线性方程组，设三个平面分别是P1,P2,P3，该方程组有唯一解，即这三个平面相交于一点，三个方程两两相交于一条直线：

　　平面方程组也可能出现无解的情况，一种典型的情况是三个平面平行。如果P1∩P2≠φ，即二者相交于一条直线，根据P3的位置，平面方程组可能有唯一解，无解，或有无数解。下面是无数解和无解的情况：

无数解和无解

　　总结一下，如果P1与P2相交，它们的交线：

1. 与P3相交于一点，则方程组有唯一解；
2. 在P3上，则方程组有无数解；
3. 与P3平行，且不在P3上，方程组无解。

　　当然，如果P3与P1或P2中一个相同，则结集是一个平面。

点到平面的距离

　　平面方程是ax + by + cz = d，平面外一点P = (x0, y0, z0)，求该点到平面的距离。

　　PQ垂直于平面，现在要求PQ的长度，但是并不知道Q点的具体数值。

　　设P’ = (x1, y1, z1)是平面上的一点，现在将问题转换为向量：

　　向量QP是P’ P在法向量N方向上的分量，也就是P’ P与N相同方向的单位向量的点积。（可参考《线性代数笔记3——向量2（点积）》）设距离为D，则：

求解线性方程

　　当然可以使用初中的代数知识求解线性方程组，这里主要讨论如何用矩阵求解。

消元法

　　首先将方程组以矩阵的方式表示：

　　该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组，可以省略未知数：

　　现在可以对其进行消元，首先消去x，方法与普通代数法类似：

　　用同样的方法对y消元：

　　矩阵第三行对应-31z = 62，z = -2

　　最终可解得

　　可以看出，消元法本质上与初中的代数法没有区别，只是换了一种较为简单的表现形式，对于多元线性方程组，其消元过程十分繁琐。

矩阵法

　　这里需要使用列向量的概念，列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成：列向量的转置是一个行向量，反之亦然。

　　将上面的方程组用矩阵和向量表示：

　　实际上可看作 x = b/A，有点意思了，可以通过一个除法运算直接求得方程的解。

　　解得

　　对于多元线性方程组，使用矩阵法求解比消元法简单的多。

　　我们用python求解消元法中的方程组

1 import numpy as np 2 3 a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]]) 4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T 5 result = a-1 * c 6 print(result)

无解的方程组

　　线性方程组在用矩阵向量法转换后，如果矩阵A是奇异矩阵，A-1没有定义，该方程组无解。对于二元线性方程组来说，其几何意义是两条平行的直线。

　　如  ，该方程组无解，  是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像：

多个线性方程组

　　现在来看下面的矩阵：

　　如果把这个矩阵根据乘法展开，将得到两个矩阵：

　　这就可以看作是两个线性方程组：AX1 = b1，AX2 = b2

消元法求逆矩阵

　　上面的示例中， 是的逆，现在尝试用消元法求解。增广矩阵形式：

　　我们的目标是将其变为IA-1：

示例

示例1

　　求下面的平面方程：

　　a)       已知平面的法向量N = <1, 2, 3>，平面过点(1, 0, -1)

　　b)       平面过原点且平行于两个向量A = <1, 0, -1>和B = <-1, 2, 0>

　　c)       平面过点P1(1, 2, 0), P2(3, 1, 1), P3(2, 0, 0)

　　d)       平面与a中的平面平行，且经过点(1 , 2, 3)

　　a.

　　平面方程ax + by + cz = d，N = <1, 2, 3> =

，所以平面方程是x + 2y + 3z = d

　　将点(1, 0, -1) 代入平面方程，1 + 0 -3 = -2 = d

　　平面方程是 x + 2y + 3z = -2

　　b.

　　平面方程ax + by + cz = d

　　∵A，B过原点，且与平面平行，并且平面过原点

　　∴A，B在平面上，d = 0

　　已知平面上两个个向量从同一点出发的向量，计算平面的法向量：

　　平面方程是 2x + y + 2z = 0

　　根据叉积计算法向量可参考《线性代数笔记4——向量3（叉积）》

　　c.

　　平面方程2x + y – 3z = d，取任意点代入，d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4

　　d．

　　a的平面是x + 2y + 3z = -2，由于该平面平行于a，所以该平面是x + 2y + 3z = d。

　　将点(1 , 2, 3)代入，1 + 2×2 + 3×3 = 14 = d

　　平面方程是x + 2y + 3z = 14

 示例2

　　求原点到平面2x + y -2z = 4的距离。

总结

1. 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线，其解是二者的交点
2. 三元线性方程组的几何意义是三维空间上的三个平面，可能存在唯一解、无数解或无解
3. 平面方程用ax + by + cz = d，点到平面的距离
4. 如果线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵，则该方程组无解