证明 A A A可以酉相似对角化的充要条件是， A A A是正规矩阵
A H A = A A H A^H A = AA^H AHA=AAH
这里的酉对角化，是一个更强的条件，要求 P P P是一个酉矩阵
要证明，上述条件是充要的
先证 A H A = A A H A^H A = AA^H AHA=AAH ⇐ \Leftarrow ⇐ A 可以酉相似对角化 A\text{可以酉相似对角化} A可以酉相似对角化
则，存在酉矩阵 U U U, s . t . s.t. s.t.:
U − 1 A U = U H A U = [ λ 1 λ 2 . . . . λ n ] U^{-1} A U = U^H A U = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 \\ & & …. \\ &&& \lambda_n \end{bmatrix} U−1AU=UHAU=⎣⎢⎢⎡λ1λ2....λn⎦⎥⎥⎤
给上式取转置共轭，则有：
U H A H U = [ λ ˉ 1 λ ˉ 2 . . . . λ ˉ n ] U^H A^H U = \begin{bmatrix} \bar{\lambda}_1 & & & \\ & \bar{\lambda}_2 \\ & & …. \\ &&& \bar{\lambda}_n \end{bmatrix} UHAHU=⎣⎢⎢⎡λˉ1λˉ2....λˉn⎦⎥⎥⎤
而 ( U H A H U ) ( U H A U ) = U H A H A U (U^H A^H U) (U^H A U)=U^H A^H A U (UHAHU)(UHAU)=UHAHAU 的值也是上述对角阵
再证 A H A = A A H A^H A = AA^H AHA=AAH ⇒ \Rightarrow ⇒ A 可以酉相似对角化 A\text{可以酉相似对角化} A可以酉相似对角化
由附录的Schur分解定理，显然存在酉矩阵 U U U, s . t . s.t. s.t.
U H A U = [ t 11 t 12 . . . t 1 n t 22 . . . t 2 n . . . . . . t n n ] U^H A U = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} & … & t_{1n} \\ & t_{22} & … & t_{2n} \\ & & … & … \\ && & t_{nn} \\ \end{bmatrix} UHAU=⎣⎢⎢⎡t11t12t22.........t1nt2n...tnn⎦⎥⎥⎤
对该式子进行共轭转置，有：
U H A H U = [ t ˉ 11 t ˉ 12 t ˉ 22 . . . . . . . . . t ˉ 1 n t ˉ 2 n . . . t ˉ 1 n ] U^H A^H U = \begin{bmatrix} \bar{t}_{11} & & & \\ \bar{t}_{12} & \bar{t}_{22} & & \\ … & … & … & \\ \bar{t}_{1n} & \bar{t}_{2n} & … & \bar{t}_{1n} \\ \end{bmatrix} UHAHU=⎣⎢⎢⎡tˉ11tˉ12...tˉ1ntˉ22...tˉ2n......tˉ1n⎦⎥⎥⎤
[ t 11 t 12 . . . t 1 n t 22 . . . t 2 n . . . . . . t n n ] [ t ˉ 11 t ˉ 12 t ˉ 22 . . . . . . . . . t ˉ 1 n t ˉ 2 n . . . t ˉ 1 n ] = [ t ˉ 11 t ˉ 12 t ˉ 22 . . . . . . . . . t ˉ 1 n t ˉ 2 n . . . t ˉ 1 n ] [ t 11 t 12 . . . t 1 n t 22 . . . t 2 n . . . . . . t n n ] \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} & … & t_{1n} \\ & t_{22} & … & t_{2n} \\ & & … & … \\ && & t_{nn} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \bar{t}_{11} & & & \\ \bar{t}_{12} & \bar{t}_{22} & & \\ … & … & … & \\ \bar{t}_{1n} & \bar{t}_{2n} & … & \bar{t}_{1n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{t}_{11} & & & \\ \bar{t}_{12} & \bar{t}_{22} & & \\ … & … & … & \\ \bar{t}_{1n} & \bar{t}_{2n} & … & \bar{t}_{1n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} & … & t_{1n} \\ & t_{22} & … & t_{2n} \\ & & … & … \\ && & t_{nn} \\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡t11t12t22.........t1nt2n...tnn⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡tˉ11tˉ12...tˉ1ntˉ22...tˉ2n......tˉ1n⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡tˉ11tˉ12...tˉ1ntˉ22...tˉ2n......tˉ1n⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡t11t12t22.........t1nt2n...tnn⎦⎥⎥⎤
仅仅看等式左右结果的对角线元素：
{ ∣ t 11 ∣ 2 + ∣ t 12 ∣ 2 + . . . + ∣ t 1 n ∣ 2 = ∣ t 11 ∣ 2 ∣ t 22 ∣ 2 + ∣ t 23 ∣ 2 + . . . + ∣ t 2 n ∣ 2 = ∣ t 22 ∣ 2 . . . . . . ∣ t n n ∣ 2 = ∣ t 1 n ∣ 2 + ∣ t 2 n ∣ 2 + . . . + ∣ t n n ∣ 2 \left\{\begin{matrix} |t_{11}|^2 + |t_{12}|^2 + … + |t_{1n}|^2 & = & |t_{11}|^2 \\ |t_{22}|^2 + |t_{23}|^2 + … + |t_{2n}|^2 & = & |t_{22}|^2 \\ … && …\\ |t_{nn}|^2 & = & |t_{1n}|^2 + |t_{2n}|^2 + … + |t_{nn}|^2& \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∣t11∣2+∣t12∣2+...+∣t1n∣2∣t22∣2+∣t23∣2+...+∣t2n∣2...∣tnn∣2===∣t11∣2∣t22∣2...∣t1n∣2+∣t2n∣2+...+∣tnn∣2
附录：Schur分解定理
设 ∀ A ∈ C n × n \forall A \in C^{n \times n} ∀A∈Cn×n，存在酉矩阵 U ∈ C n × n U\in C^{n\times n} U∈Cn×n，使得
（划重点，这里是任意矩阵!!）
U − 1 A U = U H A U = T = [ λ 1 ∗ . . . ∗ λ 2 . . . ∗ . . . ∗ λ n ] U^{-1}AU = U^H A U = T = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & … & * \\ & \lambda_2 & … & * \\ & & … & * \\ &&& \lambda_n \end{bmatrix} U−1AU=UHAU=T=⎣⎢⎢⎡λ1∗λ2.........∗∗∗λn⎦⎥⎥⎤
其中， λ 1 \lambda_1 λ1， λ 2 \lambda_2 λ2，…， λ n \lambda_n λn是 A A A的特征值，即 ∀ A \forall A ∀A都可以酉相似于一个上三角矩阵 T T T
证明自己搜吧哈哈哈哈
给出酉相似的标准定义：
设 A , B ∈ C n × n A,B\in C^{n\times n} A,B∈Cn×n，若存在酉矩阵 U U U使得
U − 1 A U = U H A U = B U^{-1} A U = U^H A U = B U−1AU=UHAU=B
则称 A A A与 B B B酉相似
有参考自：
可对角化的矩阵一定是正规矩阵吗？ – junjun的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question//answer/
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