简述
这里显示两种，分别是，勒让德多项式跟切比雪夫多项式
勒让德多项式
区间是 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1, 1] x∈[−1,1]，权函数为 ρ ( x ) ≡ 1 \rho(x)\equiv1 ρ(x)≡1
P 0 ( x ) = 1 P_0(x) = 1 P0(x)=1
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n P_n(x) = \frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n Pn(x)=2nn!1dxndn(x2−1)n
得到勒让德多项式的首项为 ( 2 n ) ! 2 n ( n ! ) 2 \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2} 2n(n!)2(2n)!
正交性：
∫ − 1 1 P n ( x ) P m ( x ) d x \int_{-1}^1P_n(x)P_m(x)dx ∫−11Pn(x)Pm(x)dx
上式，当且仅当n=m时，非0，且值为 2 2 n + 1 \frac{2}{2n+1} 2n+12
奇偶性：
P n ( − x ) = ( − 1 ) n P n ( x ) P_n(-x) = (-1)^nP_n(x) Pn(−x)=(−1)nPn(x)
递推性：
( n + 1 ) P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) (n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) (n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x)
在区间上有n个零点
切比雪夫多项式
区间是 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1, 1] x∈[−1,1]，权函数为 ρ ( x ) = 1 1 − x 2 \rho(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ρ(x)=1−x21
T n ( x ) = cos ( n arccos ( x ) ) T_n(x) = \cos(n\arccos(x)) Tn(x)=cos(narccos(x))
递推性：
T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) – T_{n-1}(x) Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)
正交性：
当n = m时有两种情况，
- n = m != 0: π 2 \frac{\pi}{2} 2π
- n = m = 0 π \pi π
T_n(x) n为偶数，则只含有x的偶数幂；n为奇数的时候，就只含有x的奇数幂
零点问题：
同样，包含有n个零点，但是有公式可以直接获得答案
x k = c o s 2 k − 1 2 n π x_k = cos\frac{2k-1}{2n}\pi xk=cos2n2k−1π
k = 1 ， 2 ， 3 ， . . . , n k = 1， 2，3， … , n k=1，2，3，...,n
首项问题：
P n ( x ) P_n(x) Pn(x)首项系数为 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1
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