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垂心的概念
- 三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心
- 三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心
垂心的性质
- 必然存在
- 证明
- 如图，由同侧角相等判定$A,B,E,D$四点共圆，则$\angle ABD=\angle AED$
- 同理，$\angle ACF=\angle AED$
- 由中间的斜八字型得$\angle AFC=\angle BDC=90^{\circ}$
- 证明
- 基本性质
- 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边
- 证明：由定义得
- 三角形的垂心与三个顶点构成一个垂心组，即这四点中以任意三点为三角形的顶点，则另一点为这个三角形的垂心
- 效果图
- 证明
- 原三角形的的三边成为了新三角形的边和高，原三角形的高成为了新三角形的边和延长线
- 由效果图显然易知
- 效果图
- 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边
- 推论
- 推论1（设H为$△ABC$的垂心）
- 当$△ABC$为锐角三角形时，有
- $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
- 证明
- 由勾股定理得$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2,HB^2-CH^2=BD^2-CD^2$，边的关系得证
- $\angle BHC=\angle EHF=180°-\angle BAC$，且$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°$，显然易证$\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
- 证明
- 对于其他两个角同理
- $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
- 当$△ABC$为钝角三角形时，有
- $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle CHA=\angle ABC$
- 证明：思想同上
- 对于其他两个角同理
- $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle CHA=\angle ABC$
- 当$△ABC$为锐角三角形时，有
- 推论2：相似关系
- 有3组相似关系，每组有4个，如图展式一组
- 有3组相似关系，每组有4个，如图展式一组
- 推论4
- 点H关于$△ABC$的对称点$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圆上
- 延长CE到G交外接圆于G，要求证HE=EG
- 由斜八字得$\angle ACG=\angle ABD$，又由等弦对等角得$\angle ACG=\angle ABG$，则$\angle ABD=\angle ABG$
- 由全等得HE=EG
- 点H关于$△ABC$的对称点$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圆上
- 推论5
- $△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圆是等圆
- 证明：由推论4翻折出来即可
- 证明：由推论4翻折出来即可
- $△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圆是等圆
推论3，6组四点共圆（3组对角互补，3组同侧角相等），此处展式2组
- 推论1（设H为$△ABC$的垂心）
由此显然易证$AH \cdot HD=BH \cdot HE=CH\cdot HF$（由比例式得，或由下面的四点共圆证）
- 必然存在
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