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余弦定理的证明及其应用

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余弦定理的证明及其应用余弦定理余弦定理 顾名思义 与余弦函数 cos 有关 具体的是这样的对于任意一个三角形 ABC 有如下结论 a2 b2 c2 2bc cosAb2 a2 c2 2ac cosBc2 a2 b2 2ab cosC 为什么呢 余弦定理的证明在上面那张图中其实大家就能看到证明方法根据三角函数 BD c cosB AD c sinB 那么 DC a c cosB 接下来 根据勾股定理 我们就可以得

因为这篇文章写得时候我特别菜，还不会 LaTeX \LaTeX LATE​X，而且表述中又不少不是很明确的地方，大家可以看余弦定理的证明及其应用 改进版以追求更好的阅读体验qwq

余弦定理

余弦定理，顾名思义，与余弦函数cos有关，具体的是这样的

在这里插入图片描述
对于任意一个三角形ABC，有如下结论

a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=a2+c2-2ac·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC




为什么呢？

余弦定理的证明

在上面那张图中其实大家就能看到证明方法

向量：有向的线段，向量AC打印体记做AC 具体的大家可以参阅百度百科

在这里插入图片描述
首先，我们根据向量的加法，得到等式
a+b=c
a=c–b
a2=(c–b)2
a2=b2+c2-2·b·c
a2=b2+c2-2|b|·|c|·cosA （向量的数量积）
a2=b2+c2-2bc·cosA
得证
















余弦定理的应用

讲完了证明，我们来看看余弦定理的应用

洛谷p2625 豪华游轮

题目描述（这里不是向量…）
有一条豪华游轮（其实就是条小木船），这种船可以执行4种指令：

right X : 其中X是一个1到719的整数，这个命令使得船顺时针转动X度。

left X : 其中X是一个1到719的整数，这个命令使得船逆时针转动X度。 forward X : 其中X是一个整数（1到1000），使得船向正前方前进X的距离。

backward X : 其中X是一个整数（1到1000），使得船向正后方前进X的距离。

随意的写出了n个命令，找出一个种排列命令的方法，使得船最终到达的位置距离起点尽可能的远。

输入输出格式
输入格式：
第一行一个整数n(1 <= n <= 50)，表示给出的命令数。


接下来n行，每行表示一个命令。

这道题我们看到之后很快就能够反映出来，这个地方需要做一个贪心

因为多次拐弯肯定比一次的要近，所以我们让forward走完，然后尽量转180度，然后把backward走完，这时候起点和终点之间的距离就是要算的答案了

 for(int i=1,i<=anglecnt;i++) for(int j=0;j<=360;j++){ 
    if(f[i-1][j]){ 
    f[i][j]=true; f[i][(j+angle[i]+360)%360]=true; } }

那好了，我们现在知道了旋转角度，知道了两边的边长，那么我们就可以使用余弦定理了啊

printf("%.6lf\n",sqrt(a*a+b*b-2*a*b*cos(degree*pi/180)));

这里运用的是弧度制，如果不理解的话可以上网去搜一搜

全代码大概是这样的

# include  
     # include  
     # include  
     # include  
     # include  
     # define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) # define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) using namespace std; const int N=55; const double pi=3.979; int n,go,back,angle[N],a,b,degree=INT_MAX; bool f[N][1005]; char s[N]; int main() { 
    scanf("%d",&n); Rep(i,1,n){ 
    int x; scanf("%s%d",s,&x); if(s[0]=='f') a+=x; if(s[0]=='b') b+=-x; if(s[0]=='l') angle[++angle[0]]=x; if(s[0]=='r') angle[++angle[0]]=-x; } f[0][0]=true; Rep(i,1,angle[0]) Rep(j,0,360){ 
    if(f[i-1][j]){ 
    f[i][j]=true; f[i][(j+angle[i]+360)%360]=true; } } Rep(i,0,360) if(f[angle[0]][i]) degree=min(degree,abs(180-i)); printf("%.6lf\n",sqrt(a*a+b*b-2*a*b*cos(degree*pi/180))); return 0; }
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