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一、研究对象
1. 祖孙三代
函数、导数、积分。
2. 分段函数
3. 参数方程
直角坐标和极坐标。
4. 隐函数
F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0
二、研究内容
1. 切线、法线、截距
切线斜率为一阶导数，法线斜率为切线斜率的负倒数，带值计算即可得到截距。
2. 极值、单调性
一阶导判单调性，一阶导存在且为 0 判极值，也就是说一阶导若不存在，则极值不存在。
1）判别极值的第一充分条件：
- 目标点处一阶导为 0；
- 目标点处两边一阶导数异号。
2）判别极值的第二充分条件：
- 目标点处二阶可导，且一阶导为 0 ，二阶导不为 0 ；
- 二阶导大于 0 ，取得极小值；
- 二阶导小于 0 ，取得极大值。
3）判别极值的第三充分条件：
- 目标点处 n 阶可导，且前 n-1 阶导数为 0 ，n 阶导数不为 0 ；
- n 为偶数，且 n 阶导数大于 0 ，取得极小值；
- n 为偶数，且 n 阶导数小于 0 ，取得极大值；
3. 拐点，凹凸性
将函数两端点所连直线的大小与函数中点的大小进行比较，若前者大于后者，则函数为凹的，反之为凸的。
连接曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。
二阶导判凹凸性，二阶导存在且为 0 判拐点，也就是说二阶导若不存在，则拐点不存在。
1）判断拐点的第一充分条件：
- 目标点处二阶导为 0 ；
- 目标点处二阶导数异号。
2）判断拐点的第二充分条件：
- 目标点处（邻域）函数三阶可导；
- 目标点处二阶导为 0 ；
- 目标点处三阶导不为 0 。
3）判断拐点的第三充分条件：
- 目标点处 n 阶可导；
- 前 n-1 阶导数为 0 ，n 阶导数不为 0 ；
- n 为奇数。
4. 渐近线
1）铅锤渐近线：
若 lim x → x 0 + f ( x ) = ∞ \lim_{x\to x^+_0}f(x)=\infty limx→x0+f(x)=∞ （或 lim x → x 0 − f ( x ) = ∞ \lim_{x\to x^-_0}f(x)=\infty limx→x0−f(x)=∞ ），则 x = x 0 x=x_0 x=x0 为一条铅锤渐近线。
2）水平渐近线：
若 lim x → + ∞ f ( x ) = y 1 \lim_{x\to +\infty}f(x)=y_1 limx→+∞f(x)=y1 ，则 y = y 1 y=y_1 y=y1 为一条水平渐近线；
若 lim x → − ∞ f ( x ) = y 2 \lim_{x\to -\infty}f(x)=y_2 limx→−∞f(x)=y2 ，则 y = y 2 y=y_2 y=y2 为一条水平渐近线；
若 lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → − ∞ f ( x ) = y 0 \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0 limx→+∞f(x)=limx→−∞f(x)=y0 ，则 y = y 0 y=y_0 y=y0 为一条水平渐近线。
3）斜渐近线：
若 lim x → + ∞ f ( x ) x = k 1 \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1 limx→+∞xf(x)=k1 ， lim x → + ∞ [ f ( x ) − k 1 x ] = b 1 \lim_{x\to+\infty}[f(x)-k_1x]=b_1 limx→+∞[f(x)−k1x]=b1 ，则 y = k 1 x + b 1 y=k_1x+b_1 y=k1x+b1 是曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的一条渐近线；
若 lim x → − ∞ f ( x ) x = k 2 \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2 limx→−∞xf(x)=k2 ， lim x → − ∞ [ f ( x ) − k 2 x ] = b 2 \lim_{x\to-\infty}[f(x)-k_2x]=b_2 limx→−∞[f(x)−k2x]=b2 ，则 y = k 2 x + b 2 y=k_2x+b_2 y=k2x+b2 是曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的一条渐近线；
若 lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → − ∞ f ( x ) x = k \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k limx→+∞xf(x)=limx→−∞xf(x)=k ， lim x → + ∞ [ f ( x ) − k x ] = lim x → − ∞ [ f ( x ) − k x ] = b \lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=b limx→+∞[f(x)−kx]=limx→−∞[f(x)−kx]=b ，则 y = k x + b y=kx+b y=kx+b 是曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的一条渐近线。
5. 最值
极值不一定是最值，分界点、端点等可疑点也有可能是最值。
6. 曲率与曲率半径
曲 率 ： k = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 曲率：k=\frac{|y”|}{(1+y’^2)^\frac{3}{2}} 曲率：k=(1+y′2)23∣y′′∣
极 坐 标 ： k = r 2 + 2 r ′ 2 − r r ′ ′ ( r 2 + r ′ 2 ) 3 2 极坐标：k=\frac{r^2+2r’^2-rr”}{(r^2+r’^2)^\frac{3}{2}} 极坐标：k=(r2+r′2)23r2+2r′2−rr′′
曲 率 中 心 ： ( x − y ′ ( y ′ 2 + 1 ) y ′ ′ , x + y ′ 2 + 1 y ′ ′ ) 曲率中心：(x-\frac{y'(y’^2+1)}{y”},x+\frac{y’^2+1}{y”}) 曲率中心：(x−y′′y′(y′2+1),x+y′′y′2+1)
7. 相关变化率
根据物理规律处理相关数据，最终得到正确的模型。
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