通过傅里叶变换，可以实现对离散信号的的频域分析。
Z变换时傅里叶变化的推广，对序列和系统做复频域分析
z变换的定义
序列 x ( n ) x(n) x(n)的z变换：
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X\left ( z\right )=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left ( n\right )z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n
Z变换的条件是等式右边的级数收敛：
∑ − ∞ ∞ ∣ x ( n ) z − n ∣ < ∞ \sum_{-\infty}^{\infty}\left | x\left ( n\right )z^{-n} \right | < \infty −∞∑∞∣∣x(n)z−n∣∣<∞
解得z的取值范围称为收敛域，一般情况下，收敛于为环状： R x − < ∣ z ∣ < R x + R_{x^-}<\left | z\right |< R_{x^+} Rx−<∣z∣<Rx+
求z变换就包括了求其收敛域。
举个例子：
x ( n ) = { 1 , 2 , 5 , 7 , 0 , 1 } x(n)=\{1,2,5,7,0,1\} x(n)={
1,2,5,7,0,1}
要注意的是起点：
这时的求和从 n = − 2 n=-2 n=−2开始， n = 3 n=3 n=3结束。
根据定义：
{ n = − 2 , x ( − 2 ) z − ( − 2 ) = z 2 n = − 1 , x ( − 1 ) z − ( − 1 ) = 2 z n = 0 , x ( 0 ) z − 0 = 5 n = 1 , x ( 1 ) z − 1 = 7 z − 1 n = 2 , x ( 2 ) z − 2 = 0 n = 3 , x ( 3 ) z − 3 = z − 3 \left\{\begin{matrix} n=-2, & x(-2)z^{-(-2)}=z^2\\ n=-1, & x(-1)z^{-(-1)}=2z\\ n=0, & x(0)z^{-0}=5\\ n=1, & x(1)z^{-1}=7z^{-1}\\ n=2, & x(2)z^{-2}=0\\ n=3, & x(3)z^{-3}=z^{-3} \end{matrix}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧n=−2,n=−1,n=0,n=1,n=2,n=3,x(−2)z−(−2)=z2x(−1)z−(−1)=2zx(0)z−0=5x(1)z−1=7z−1x(2)z−2=0x(3)z−3=z−3
求和：
X ( z ) = z 2 + 2 z + 5 z + 7 z − 1 + z − 3 X(z)=z^2+2z+5z+7z^{-1}+z^{-3} X(z)=z2+2z+5z+7z−1+z−3
无论是卷积，还是相关，还是z变换的计算，索引从哪里开始很重要。
零点和极点
z变换域傅里叶变换的关系
序列的特性对收敛域的影响
逆z变换
序列 x ( n ) x(n) x(n)的z变换：
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X\left ( z\right )=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left ( n\right )z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞x(n)z−n
两边同乘以 z n − 1 z^{n-1} zn−1，在收敛于上积分
∮ c X ( z ) z n − 1 d z = ∮ c [ ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) z − m ] z n − 1 d z = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) ∮ c z n − m − 1 d z \oint_{c}X(z)z^{n-1}dz =\oint_{c}[\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left ( m\right )z^{-m}]z^{n-1}dz =\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left ( m\right )\oint_{c}z^{n-m-1}dz ∮cX(z)zn−1dz=∮c[m=−∞∑∞x(m)z−m]zn−1dz=m=−∞∑∞x(m)∮czn−m−1dz
利用柯西公式，得 ∮ c X ( z ) z n − 1 d z = 2 π j x ( n ) \oint_{c}X(z)z^{n-1}dz =2\pi jx(n) ∮cX(z)zn−1dz=2πjx(n)
所以逆z变换为 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z = x ( n ) \frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(z)z^{n-1}dz =x(n) 2πj1∮cX(z)zn−1dz=x(n)
用留数定理求解
令 F ( z ) = X ( z ) z n − 1 F(z) = X(z)z^{n-1} F(z)=X(z)zn−1, F ( z ) F(z) F(z)在围线内的极点记为 z k z_k zk,那么逆z变换可以写成 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z = ∑ k R e s [ F ( z ) , z k ] \frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(z)z^{n-1}dz =\sum_kRes[F(z), z_k] 2πj1∮cX(z)zn−1dz=k∑Res[F(z),zk]
其中 R e s [ F ( z ) , z k ] = ( z − z k ) ⋅ F ( z ) ∣ z = z k Res[F(z), z_k] = (z-z_k)\cdot F(z)|_{z=z_k} Res[F(z),zk]=(z−zk)⋅F(z)∣z=zk,表示被积函数 F ( z ) F(z) F(z)在 z = z k z=z_k z=zk的留数，所有极点留数之和等于逆z变换。
举个栗子：
求 X ( z ) = 0.36 ( 1 − 0.8 z − 1 ) ( 1 − 0.8 z ) X(z) = \frac{0.36}{(1-0.8z^{-1})(1-0.8z)} X(z)=(1−0.8z−1)(1−0.8z)0.36的逆z变换。
X ( z ) X(z) X(z)有两个极点 z 1 = 0.8 z_1=0.8 z1=0.8, z 2 = 1.25 z_2=1.25 z2=1.25, 只考虑单位圆内的极点。所以
1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z = ∑ k R e s [ F ( z ) , z k ] = ( z − 0 , 8 ) 0.36 ( 1 − 0.8 z − 1 ) ( 1 − 0.8 z ) z n − 1 ∣ z = 0.8 = o . 8 n \frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(z)z^{n-1}dz =\sum_kRes[F(z), z_k] = (z-0,8)\frac{0.36}{(1-0.8z^{-1})(1-0.8z)}z^{n-1}|_{z=0.8}=o.8^n 2πj1∮cX(z)zn−1dz=k∑Res[F(z),zk]=(z−0,8)(1−0.8z−1)(1−0.8z)0.36zn−1∣z=0.8=o.8n
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