皮尔森相关系数，又称积差相关系数、积矩相关系数，可以看做将两组数据首先做Z分数处理之后, 然后两组数据的乘积和除以样本数Z分数一般代表正态分布中, 数据偏离中心点的距离.等于变量减掉平均数再除以标准差。按照大学的线性数学水平来理解, 它比较复杂一点,可以看做是两组数据的向量夹角的余弦。
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从以上解释，也可以理解皮尔逊相关的约束条件:
1、两个变量间有线性关系
2、变量是连续变量
3、两个变量的总体均符合正态分布：取大样本进行正态分布非参数检验
4、两变量独立
在实践统计中，一般只输出两个系数，一个是相关系数，也就是计算出来的相关系数大小，在-1到1之间；另一个是独立样本检验系数，用来检验样本一致性。
现举例说明计算相关系数的一般步骤：
例9.1 测定15名健康成人血液的一般凝血酶浓度（单位/毫升）及血液的凝固时间（秒），测定结果记录于表9.1第（2）、（3）栏，问血凝时间与凝血酶浓度间有无相关？
1．绘图，将表9.1第（2）、（3）栏各对数据绘成散点图。
2．求出∑X、∑Y、∑X2、∑Y2、∑XY，见表9.1下方。
3，代入公式，求出r值。
表9.1 相关系数计算表
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1 |
1.1 |
14 |
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2 |
1.2 |
13 |
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3 |
1.0 |
15 |
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4 |
0.9 |
15 |
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5 |
1.2 |
13 |
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6 |
1.1 |
14 |
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7 |
0.9 |
16 |
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8 |
0.9 |
15 |
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9 |
1.0 |
14 |
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10 |
0.9 |
16 |
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11 |
1.1 |
15 |
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12 |
0.9 |
16 |
|
13 |
1.1 |
14 |
|
14 |
1.0 |
15 |
|
15 |
0.8 |
17 |
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合计 |
15.1 |
222 |
∑X2=15.41∑Y2=3304
本例的相关系数r=-0.9070，负值表示血凝时间随凝血酶浓度的增高而缩短；绝对值∣-0.9070∣表示这一关系的密切程度。至于此相关系数是否显著，则要经过下面的分析。
（二）相关系数的假设检验
虽然样本相关系数r可作为总体相关系数ρ的估计值，但从相关系数ρ=0的总体中抽出的样本，计算其相关系数r，因为有抽样误差，故不一定是0，要判断不等于0的r值是来自ρ=0的总体还是来自ρ≠0的总体，必须进行显著性检验。检验假设是ρ=0，r与0的差别是否显著要按该样本来自ρ=0的总体概率而定。如果从相关系数ρ=0的总体中取得某r值的概率P>0.05，我们就接受假设，认为此r值的很可能是从此总体中取得的。因此判断两变量间无显著关系；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我们就在α=0.05或α=0.01水准上拒绝检验假设，认为该r值不是来自ρ=0的总体，而是来自ρ≠0的另一个总体，因此就判断两变量间有显著关系。
由于来自ρ-0的总体的所有样本相关系数呈对称分布，故r的显著性可用t检验来进行。本例r=-0.9070，进行t检验的步骤为：
1．建立检验假设，H0：ρ=0，H1：ρ≠0，α=0.01
2．计算相关系数的r的t值：
（9.3）
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3．查t值表作结论
ν=n-2=15-2=13
根据专业知识知道凝血酶浓度与凝血时间之间不会呈正相关，故宜用单侧界限，查t值表得
t0.01,13=2.650
今∣tr∣>t0.01,13，P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H0，接受H1，故可认为凝血时间的长短与血液中酶浓度有负相关。
为简化tr检验的计算过程，数理统计工作者根据t分配表，已把不同自由度时r的临界值求出，并列成相关系数界值表（见附表11）。故求相关系数后，只需查表就可知道该r值是否显著，而不必再计算tr值。
r的显著性界限为
|r|<r0.05, P>0.05 相关不显著
r0.05≤|r|<r0.01,0.05≥P>0.01 在α=0.05水准上相关显著
|r|≥r0.01,P≤0.01 在α=0.01水准上相关显著
例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P（1）的界值，得：
r0.05,13=0.441 r0.01,13=0.592
现r=-0.9070,∣r∣>r0.01,13,P<0.01,按α=0.01水准，拒绝HO,接受H1。认为ρ≠0，说明凝血时间的长短与血液中凝血酶浓度有负相关。结论与计算所得一致。
相关系数的显著性与自由度的大小有关，如n=3,ν=1时，虽r=-0.9070，却为不显著；若ν=400时，即使r=0.1000，亦为显著。因此不能只看r的值，不考虑ν就下结论。
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