深入浅出理解卷积运算

全栈程序员-站长 • 2025年8月27日下午12:15 • 未分类 • 阅读 4

因此，输入信号f通过与g函数进行某种运算后可以得到输出 $F (n)$ 。而这之间的运算关系是怎样的呢？通过上述分析我们假设要求取 $F (5)$ ，即 $t = 5$ 时刻及之前所有采集到的信号的一个加权求和。按照分析: $\begin{array}{l} F(5)=\\f(0) * e^{-5}+f(1) * e^{-4}+f(2) * e^{-3}+f(3) * e^{-2}+f(4) * e^{-1}+f(5) \end{array}$ 因为 $f (0)$ 是最早采集到的信号，故其衰减的最为厉害，权值也最小。将其中的权值用响应函数 $g$ 来表示，则 $\begin{array}{l} F(5)=\\f(0) * g(5)+f(1) * g(4)+f(2) * g(3)+f(3) * g(2)+ f(4) * g(1)+f(5) * g(0)\\=\\ f(0) * g(5-0)+f(1) * g(5-1)+f(2) * g(5-2)+ f(3) * g(5-3)+f(4) * g(5-4)+f(5) * g(5-5) \\=\\\sum_{\tau=0}^{5} f(\tau) * g(5-\tau) \end{array}$ 看到这个公式大家有没有一点熟悉的感觉，没错这个式子 $F(5)=sum_{\tau=0}^{5} f(\tau) * g(5-\tau)$ 和卷积运算的离散形式 $\sum_{\tau=-\infty}^{+\infty} f(\tau) * g(n-\tau)$ 几乎一模一样，只是把 $n$ 取了整数5。
看到这里可能大家已经隐约知道了卷积运算中对g进行翻转和平移的作用，为了让大家更直观的看到翻转和平移作用，引用知乎博主palet的解释:

首先这是给定的输入信号 $f$ 和指数衰减响应函数 $g$ 。为了达到上文提到的加权求和的效果，当取T（也就是上文的 $n$ ）=10时， $f (t)$ 和 $g (t)$ 的累积对应关系如下图所示：
在这里插入图片描述
如上图所示，对于 $t = 10$ 时刻最新的信号采集值 $f (10)$ 是完全没有衰减的，因此与 $g (0) = 1$ 相乘，对于其它时刻的对应也如上分析，最终得到最近10个输入信号的采集值加权叠加的结果，具体请参看第二个问题的第二段。
这样的对应关系看起来十分复杂，因此我们对 $g (t)$ 进行一些处理，首先进行翻转，翻转后 $f (t)$ 与$g(-t) $的乘积对应关系如下图：
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翻转之后乘积的对应关系似乎看起了有了一些规则，但依旧有些不易观察，之后对 $g (- t)$ 进行长度为T（上文的 $n$ ）的右移得到 $g (T - t)$ ，其对应关系变为了下图：
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通过这张图后可以很清晰的看见 $f (t)$ 与 $g (T - t)$ 的乘积对应关系。又因为 $f (t)$ 是实际的输入信号，其在 $t$ 的负半轴是没有数值的，因此 $f (t)$ 与 $g (t)$ 做卷积运算也就是 $f (t)$ 与 $g (T - t)$ 做整个数轴上的累积运算时与作 $(0, T)$ 的累积运算结果是相同的。因此可以得出卷积运算满足了信号指数衰减求和的结果。大家应该也明白了卷积运算在信号处理上的物理意义。同时大家也能够明白了平移长度 $n$ 所代表的意义了， $n$ 代表的就是积分的x轴长度或者累加的次数，在信号上就是当前已采集输入信号值的次数。
本文主要分享的是卷积运算在信号处理上的一些物理意义，希望能够帮助读者更好的理解卷积运算。但实际上卷积运算在很多其他的地方也有很大的作用，比如图像识别中的边缘提取，卷积神经网络等等，有兴趣的话大家可以自行去了解。