形式
对于非负随机变量X，假设其期望存在为 E ( X ) E(X) E(X)，那么对于任意的 a > 0 a>0 a>0有：
P { X ≥ a } ≤ E ( X ) a P\{X\ge a \}\le \frac{E(X)}{a} P{
X≥a}≤aE(X)
证明
= ∫ 0 a x f ( x ) d x + ∫ a + ∞ x f ( x ) d x ≥ ∫ a + ∞ x f ( x ) d x =\int_0^{a}xf(x)dx+\int_a^{+\infty}xf(x)dx\ge \int_a^{+\infty}xf(x)dx =∫0axf(x)dx+∫a+∞xf(x)dx≥∫a+∞xf(x)dx
∫ a + ∞ x f ( x ) d x ≥ a ∫ a + ∞ f ( x ) d x = a P { X ≥ a } \int_a^{+\infty}xf(x)dx\ge a\int_a^{+\infty}f(x)dx=aP\{X\ge a\} ∫a+∞xf(x)dx≥a∫a+∞f(x)dx=aP{
X≥a}
E ( X ) ≥ a P { X ≥ a } E(X)\ge aP\{X\ge a\} E(X)≥aP{
X≥a}，证毕。
描述
这一不等式给出了概率上界的一个宽泛的估算上界，这里的宽泛可以从上述的证明中得到，其直接省去了 [ 0 , a ] [0,a] [0,a]区域的积分，在数值上存在较大的近似。
使用期望可以对分布进行一个近似上界的估算。
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