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莫比乌斯反演的两种形式及其证明

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莫比乌斯反演的两种形式及其证明莫比乌斯反演形式一 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 证明 把代入右边的式子 得 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 根据莫比乌斯函数的性质 有定理 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 因此 只有

莫比乌斯反演形式一：

                                              

证明：

把 \large F(\frac{n}{d}) 代入右边的式子，得：

                                     \large f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)=\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)

根据莫比乌斯函数的性质，有定理：

                                                    \large \frac{n}{k}==1 时，即n==k时，\large \sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=1，其余时为0。

故

                                                       \large \sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=f(n)

形式一得证。

 

莫比乌斯反演形式二：

                                                        \large F(d) 代入右边的式子，令 \large k=\frac{d}{n} 得：

                                           \large f(n)=\sum^{+\infty}_{k=1}\mu(k)F(nk)=\sum^{+\infty}_{k=1}\mu(k)\sum_{nk|t}f(t)=\sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)

同理，当且仅当 \large \frac{t}{n}=1 时，也即t==n时，\large \sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=1，其余时为0，

最终有

                                                         \large \sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=f(n)

形式二得证。

 

 

证明完毕。

 

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