莫比乌斯反演的两种形式及其证明

全栈程序员-站长 • 2025年6月28日下午6:15 • 未分类 • 阅读 1

莫比乌斯反演的两种形式及其证明莫比乌斯反演形式一 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 证明把代入右边的式子得 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 根据莫比乌斯函数的性质有定理 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 因此只有

莫比乌斯反演形式一：

莫比乌斯反演的两种形式及其证明

证明：

把 $\large F(\frac{n}{d})$ 代入右边的式子，得：

$\large f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)=\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)$

根据莫比乌斯函数的性质，有定理：

莫比乌斯反演的两种形式及其证明 $\large \frac{n}{k}==1$ 时，即n==k时， $\large \sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=1$ ，其余时为0。

故

$\large \sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=f(n)$

形式一得证。

莫比乌斯反演形式二：

莫比乌斯反演的两种形式及其证明 $\large F(d)$ 代入右边的式子，令 $\large k=\frac{d}{n}$ 得：

$\large f(n)=\sum^{+\infty}_{k=1}\mu(k)F(nk)=\sum^{+\infty}_{k=1}\mu(k)\sum_{nk|t}f(t)=\sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)$

同理，当且仅当 $\large \frac{t}{n}=1$ 时，也即t==n时， $\large \sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=1$ ，其余时为0，

最终有

$\large \sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=f(n)$

形式二得证。

证明完毕。

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