一、线性微分方程的解的结构
1.1 二阶齐次线性方程
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1) y”+P(x)y’+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)
定理1：如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是方程（1）的两个解，那么
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)
也是方程（1）的解，其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。
解（2）从形式上看含有 C 1 C_1 C1和 C 2 C_2 C2两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。
设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)为定义在区间 I I I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得当 x ∈ I x\in I x∈I时有恒等式
k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n = 0 k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0
成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。
应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。
定理2：如果 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是方程（1）的两个线性无关的特解，那么
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)
就是方程（1）的通解， C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。
推论：如果 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ ， y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···，y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅，yn(x)是n阶齐次线性方程
y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = 0 y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+···+a_{n-1}(x)y’+a_n(x)y=0 y(n)+a1(x)y(n−1)+⋅⋅⋅+an−1(x)y′+an(x)y=0
的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + C n y n ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+···+C_ny_n(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+Cnyn(x)
其中 C 1 , C 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , C n C_1,C_2,···,C_n C1,C2,⋅⋅⋅,Cn为任意常数。
1.2 二阶非齐次线性方程
一阶非齐次线性微分方程 的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。
定理3：设 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)是二阶非齐次线性方程
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) (3) y”+P(x)y’+Q(x)y=f(x) \tag{3} y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)(3)
的一个特解。 Y ( x ) Y(x) Y(x)是与（3）对应的齐次方程（1）的通解，则
y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y∗(x)
是二阶非齐次线性方程（3）的通解。
由于对应的齐次方程（1）的通解 Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C_1y_1+C_2y_2 Y=C1y1+C2y2中含有两个任意常数，所以 y = Y + y ∗ y=Y+y^* y=Y+y∗中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（3）的通解。
定理4：设非齐次线性方程（3）的右端 f ( x ) f(x) f(x)是两个函数之和，即
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y”+P(x)y’+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)
而 y 1 ∗ ( x ) y_1^*(x) y1∗(x)与 y 2 ∗ ( x ) y_2^*(x) y2∗(x)分别是方程
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) y”+P(x)y’+Q(x)y=f_1(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)
与
y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) y”+P(x)y’+Q(x)y=f_2(x) y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)
的特解，则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x)+y_2^*(x) y1∗(x)+y2∗(x)就是原方程的特解。
这已订立通常称为线性微分方程的解的叠加原理。
定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程。
二、 常数变易法
为解一阶非齐次线性方程，我们用了常数变易法。这方法的特点是：如果 C y 1 ( x ) Cy_1(x) Cy1(x)是齐次线性方程的通解，那么，可以利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1(x)（这变换是把齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数 u ( x ) u(x) u(x)而得到的）去解非齐次线性方程。这一方法也适用于解高阶线性方程。下面就二阶线性方程来作讨论。
2.1 已知齐次方程的两个解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)和 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)
2.2 已知齐次方程的一个解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)
如果只知齐次方程（1）的一个不恒为零的解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)，那么，利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1(x)，可把非齐次方程（3）化为一阶线性方程。
上式两端乘 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)，便得方程（3）的通解
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 U ( x ) y 1 ( x ) + u ∗ ( x ) y 1 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2U(x)y_1(x)+u^*(x)y_1(x) y=C1y1(x)+C2U(x)y1(x)+u∗(x)y1(x)
上式方法显然也适用于求齐次方程（1）的通解。
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