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威尔逊定理：当( p -1 )! ≡ p -1 ≡ -1 ( mod p ) 时，p为素数。
（即：p是质数，则(p-1)! ≡ p-1 ≡ -1(mod p)）
综合来说，就是：( p -1 )! ≡ p -1 ≡ -1 ( mod p ) 当且仅当 p为素数。
证明如下
充分性：
当p不是素数，那么令p=a*b ，其中1 < a < p-1 ,1 < b < p-1.
(1)若a≠b,
因为(p-1)!=1*2*…*a*…*b*…*p-1,
所以(p-1)!≡ 0 (mod a)
(p-1)!≡ 0 (mod b)
可得(p-1)!≡ 0 (mod a*b) ，
即 (p-1)!≡ 0 (mod p)
与( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 矛盾
(2)若a=b
因为(p-1)!=1*2*…*a*…*2a*…*p-1.
所以(p-1)!≡ 0 (mod a)
(p-1)!≡ 0 (mod 2a)
可得(p-1)!≡ 0 (mod a*2a) => (p-1)!≡ 0 (mod a*a) ，
即 (p-1)!≡ 0 (mod p)
与( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 矛盾
因此p只能是素数。
必要性：
当p为2，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 显然成立
当p为3，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 显然成立
对于p>=5，令M={2,3,4,…,p-2}.
对于a∈M，令N={a,2*a,3*a,4*a,….(p-2)*a,(p-1)*a}
令1 <= t1 <= p-1 ,1 <= t2 <= p-1,t1 ≠ t2
那么t1*a∈N，t2*a∈N。
若t1*a≡t2*a (mod p) ，那么|t1-t2|*a ≡ 0 (mod p)。
因为|t1-t2|*a∈N，与N中元素不能被p除尽矛盾。
所以t1*a≡t2*a不成立。
那么N中元素对p取模后形成的集合为{1,2,3,4,…,p-1}.
设x*a ≡ 1 (mod p)。
当x=1时， x*a=a, 对p取模不为1，所以不成立。
当x=p-1时，(p-1)*a=p*a-a, 对p取模不为1，所以不成立。
当x=a时，a*a≡1 (mod p)，可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ，所以不成立。
综上所述，x,a∈M，并且当a不同时，x也随之不同。
所以，M集合中每一个元素a都能够找到一个与之配对的x，使得x*a ≡ 1 (mod p).
(p-1)!=1*2*3*…p-1
=1*(2*x1)*(3*x3)*…*(p-1)
所以， (p-1)!≡1*(p-1) (mod p)
即，(p-1)!≡-1 (mod p)
证明完毕
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