一、计算公式

对于形如以下的常微分方程：

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

y(a)=y0

采用四阶龙格库塔法的计算公式：

$y_{i+1}=y_i+h/6*(K_1+2K_2+2*K_3+K_4)$

K_1=f(x_i,y_i)

K_2=f(x_i+h/2,y_i+h/2*K_1)

K_3=f(x_i+h/2,y_i+h/2*K_2)

K_4=f(x_i+h,y_i+h*K_3)

四阶龙格库塔法精度为4，属于单步递推法。

单步递推法的基本思想是从（x(i),y(i)）点出发，以某一斜率沿直线达到（x(i+1),y(i+1)）点。

二、实例计算

从上述定义可以看出，龙格库塔实质上是求一阶微分方程，但是如果将一阶导看作变量，则二阶导也不过是这个变量的一阶导而已。

接下来就看实例吧：

对于下述二阶方程：

${\ddot{q}}+2*\varepsilon *{\dot{q}}+q=Fm+Fah*cos(\Omega *t)$

1、基本思想：

令位移为 q=u(1)

q的一阶导，即位移的一阶导（速度）为 $\dot{q}=u(2)$

q的二阶导 $\dot{u(2))}=-2* \varepsilon *u(2)-u(1)+Fm+Fah*cos(\Omega *t)$

求解位移u(1)的龙格库塔计算方法如下：

KK1=u(2);
KK2=u(2)+h/2*KK1;
KK3=u(2)+h/2*KK2;
KK4=u(2)+h*KK3;
u(1)=u(1)+h/6*(KK1+2*KK2+2*KK3+KK4);

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求解速度u(2)的龙格库塔计算方法如下：

K1=-2*eptheton*u(2)-u(1)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);
K2=-2*eptheton*(u(2)+h/2*K1)-(u(1)+h/2)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);
K3=-2*eptheton*(u(2)+h/2*K2)-(u(1)+h/2)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);
K4=-2*eptheton*(u(2)+h*K3)-(u(1)+h)+Fm+Fah*wh*wh*sin(wh*tao+fav_h);
u(2)=u(2)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

2、编程实现

参数设置：

h=0.001;       % 步长
t0=0:h:400;    % 总时长
w=5;
ep=0.02;
Fm=0.1;
Fah=0.05;
u(1)=0;u(2)=0;  % 初值

总的程序实现

h=0.001;
t0=0:h:400;
w=5;
ep=0.02;
Fm=0.1;
Fah=0.05;
u(1)=0;u(2)=0;
for i=1:length(t0)   % 进行多次迭代
    tao=t0(i);
    u=RK(u,tao,h,ep,w,Fm,Fah);     
    Result(i,:)=u;   % 将每次迭代的位移和速度保存
end
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t0,Result(:,1))      % 绘制位移图
xlabel('Time')
ylabel('displacement')
subplot(2,1,2)
plot(t0,Result(:,2))      % 绘制速度图
xlabel('Time')
ylabel('velocity')

function u=RK(u,tao,h,ep,w,Fm,Fah)
KK1=u(2);
KK2=u(2)+h/2*KK1;
KK3=u(2)+h/2*KK2;
KK4=u(2)+h*KK3;
u(1)=u(1)+h/6*(KK1+2*KK2+2*KK3+KK4);
K1=-2*ep*u(2)-u(1)+Fm+Fah*cos(w*tao);
K2=-2*ep*(u(2)+h/2*K1)-u(1)-h/2+Fm+Fah*cos(w*tao);
K3=-2*ep*(u(2)+h/2*K2)-u(1)-h/2+Fm+Fah*cos(w*tao);
K4=-2*ep*(u(2)+h*K3)-u(1)-h+Fm+Fah*cos(w*tao);
u(2)=u(2)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

结果图如下所示

二阶微分方程龙格库塔法_二阶龙格库塔法公式

值得特别注意的是

u=RK(u,tao,h,ep,w,Fm,Fah);

输入的u与输出的u一定要符号一致，从而确保下一次迭代的初始值是上一次的值。确保迭代能一直进行下去。

三、辅助验证

接下来用MATLAB自带的ode45函数来进行验证。

之前已经写过ode45函数的用法，在此不再进行介绍。

源程序如下：

t0=0:0.001:400;
w=5;
ep=0.02;
Fm=0.1;
Fah=0.05;
y0=[0 0];
[t,u]=ode45(@(t,u) odefun(t,u,w,ep,Fm,Fah),t0,y0);
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,u(:,1))
xlabel('Time')
ylabel('displacement')
subplot(2,1,2)
plot(t,u(:,2))
xlabel('Time')
ylabel('velocity')
function du=odefun(t,u,w,ep,Fm,Fah)
du=[u(2);
    -2*ep*u(2)-u(1)+Fm+Fah*cos(w*t)]; 
end

运算结果图如下所示

二阶微分方程龙格库塔法_二阶龙格库塔法公式