以下内容主要引用自《Deep Learning》中文版
https://github.com/exacity/deeplearningbook-chinese
1、线性方程组以矩阵的形式表达如下，
其中
是一个已知矩阵，也就是一个m行n列的矩阵；
是一个已知向量（m行1列）；
是一个我们要求解的未知向量（n行1列）。
矩阵A中的每一个行和b中对应的元素构成一个约束，所以线性方程可以换种表达方式：
， 用A的每一行和x向量相乘得到b向量的一个元素
或者详细的：
， 这也是一般多项式的表达。
2、通过逆矩阵，我们可以求得线性多项式的解。
逆矩阵的性质：矩阵和其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
逆矩阵求解多项式的推导过程：也就是逆矩阵左乘的过程。
3、如果逆矩阵存在，那么对于每一个向量b恰好存在一个解。
4、从方程组考虑，对于b的某些值，解的情况只会有三种可能：
- 只存在一个解（只限于方阵，存在逆矩阵）
- 不存在解
- 存在无限多个解
不存在多于一个解，少于无限个解的情况： 假设x和y都是方程组的解，考虑下面等式，α是任意值，z也是方程组的解。
5、线性方程组也可以换一种理解角度：
- 可以将A的列向量看作从原点出发的不同方向，分析有多少个解的过程，也就是确定有多少种方法可以到达向量b，也就是坐标系中从原点到b点的路径。
- 解向量x中的每个元素表示的是沿着对应的A的列向量的方向走多远。
这种操作就是线性组合。一组向量的线性组合，是指每个向量乘以对应标量系数之后的和
。
生成子空间（span）：原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。
列空间（值域）：确定Ax=b是否有解，相当于确定向量b是否在A的列向量的生成子空间中。
- 如果对于任意b ∈ Rm，Ax=b都有解，那么A的列空间需要构成整个Rm。
- 如果Rm中的某个点不在A的列空间中，那么该点对应的b无解。
- A至少m列
6、线性相关和线性无关
线性无关：一组向量中的任意一个向量，都不能表示成其他向量的线性组合。
线性相关，反之。
- 线性相关的向量加入向量组中，不会增加向量组的生成子空间。
- 如果A的列空间构成整个Rm，那么A必须包含至少一组m个线性无关向量。
- 以上是对每一个b取值都有解的的充要条件。
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