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反向传播算法（Backpropagation）是目前用来训练人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）的最常用且最有效的算法。其主要思想是：
（1）将训练集数据输入到ANN的输入层，经过隐藏层，最后达到输出层并输出结果，这是ANN的前向传播过程；
（2）由于ANN的输出结果与实际结果有误差，则计算估计值与实际值之间的误差，并将该误差从输出层向隐藏层反向传播，直至传播到输入层；
（3）在反向传播的过程中，根据误差调整各种参数的值；不断迭代上述过程，直至收敛。
反向传播算法的思想比较容易理解，但具体的公式则要一步步推导，因此本文着重介绍公式的推导过程。
1. 变量定义
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上图是一个三层人工神经网络，layer1至layer3分别是输入层、隐藏层和输出层。如图，先定义一些变量：
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表示第层的第个神经元连接到第层的第个神经元的权重；
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表示第层的第个神经元的偏置；
表示第层的第个神经元的输入，即：
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表示第层的第个神经元的输出，即：
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其中![反向传播算法（过程及公式推导）[通俗易懂]](https://img-blog.csdn.net/20160401203156534)
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表示激活函数。
表示激活函数。
2. 代价函数
代价函数被用来计算ANN输出值与实际值之间的误差。常用的代价函数是二次代价函数（Quadratic cost function）：
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其中，![反向传播算法（过程及公式推导）[通俗易懂]](https://img-blog.csdn.net/20160401203246065)
表示输入的样本，表示实际的分类，表示预测的输出，表示神经网络的最大层数。
表示输入的样本，表示实际的分类，表示预测的输出，表示神经网络的最大层数。
3. 公式及其推导
本节将介绍反向传播算法用到的4个公式，并进行推导。如果不想了解公式推导过程，请直接看第4节的算法步骤。
首先，将第![反向传播算法（过程及公式推导）[通俗易懂]](https://img-blog.csdn.net/20160401202901392)
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层第![反向传播算法（过程及公式推导）[通俗易懂]]()
个神经元中产生的错误（即实际值与预测值之间的误差）定义为：
层第个神经元中产生的错误（即实际值与预测值之间的误差）定义为：
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本文将以一个输入样本为例进行说明，此时代价函数表示为：
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公式1（计算最后一层神经网络产生的错误）：
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其中，![反向传播算法（过程及公式推导）[通俗易懂]]()
表示Hadamard乘积，用于矩阵或向量之间点对点的乘法运算。
公式1的推导过程如下：
表示Hadamard乘积，用于矩阵或向量之间点对点的乘法运算。公式1的推导过程如下：
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公式2（由后往前，计算每一层神经网络产生的错误）：
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推导过程：
公式3（计算权重的梯度）：
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推导过程：
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公式4（计算偏置的梯度）：
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推导过程：
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4. 反向传播算法伪代码
- 输入训练集
- 对于训练集中的每个样本x，设置输入层（Input layer）对应的激活值：
- 前向传播：
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-
- 计算输出层产生的错误：
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-
- 反向传播错误：
- 反向传播错误：
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- 使用梯度下降（gradient descent），训练参数：
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