经典算法–约瑟夫环问题的三种解法

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

约瑟夫环问题，这是一个很经典算法，处理的关键是：伪链表

问题描述：N个人围成一圈，从第一个人开始报数，报到m的人出圈，剩下的人继续从1开始报数，报到m的人出圈；如此往复，直到所有人出圈。（模拟此过程，输出出圈的人的序号）

在数据结构与算法书上，这个是用链表解决的。我感觉链表使用起来很麻烦，并且这个用链表处理起来也不是最佳的。

我画了一个图用来理解：

有如下问题需要首先考虑：

1、“圈”怎样形成？

    以上图为例：下标从0开始，当下标为11的时候，再加1，就应该回到0。

index = （index+1） % count；

2、怎样处理？数组or链表or其他方法？

    链表使用起来很笨重，我们用循环数组的方法。

解法一程序分析：

循环的开始和结束：循环的结束取决于圈内是否还有“人”，可以用一个变量alive表示初始人数，每一次出圈，alive – 1。判断alive是否非0即可。

    while(alive > 0)

每一次循环，就是“过”一个人，但是，这个人有两种不同的状态：在圈内和不在圈内；在圈内就报数，number+1，不在圈内就不参与报数，number不变。

假设有N个int元素的数组，每一个int元素表示一个“人”；并且，取值为0和1, 1表示在圈内，0表示不在圈内，所以，如果这个人在圈内，number + 1；如果这个人不在圈内，number + 0。那么，在报数的时候，不需要考虑这个人在不在圈内（每一个人都需要加1或加0，所以，可以在这块优化一下程序）。

void joseph(int count, int doom) {
	int alive = count;		//幸存人数 
	int number = 0;			//计数，当number==doom时，淘汰这个人 
	int index = 0;			//下标，为总人数-1 
	int *circle = NULL;		//根据需求设为循环数组，存储每个人 

	//用calloc()函数申请得到的空间，自动初始化每个元素为0
	//所以，0表示在这个人在约瑟夫环内，1表示这个人出圈，即“淘汰” 
	circle = (int *) calloc(sizeof(int), count);

	//只要幸存人数大于0，则一直进行循环 
	while(alive > 0) {
		number += 1- circle[index];	//每轮到一个人报数，不管是"0"还是"1"都进行计数 
		if(number == doom) {		//当number==doom时，就要淘汰当前这个人
			/*
				淘汰一个人需要做四步操作：
					1、输出这个人的位置 
					2、把这个人的状态从在圈内"0"改为不在圈内"1" 
					3、幸存人数alive-- 
					4、 计数器number归零 
			*/ 
			alive == 1 ? printf("%d", index+1) : printf("%d,", index+1);
			circle[index] = 1;
			alive--;
			number = 0;
		}
		//与总人数count取余，则可以使index在0~count-1之间 一直循环，达到循环数组的目的 
		index = (index +1) % count;	
	}
	printf("\n");

	free(circle);		//结束后一定要释放circle所申请的空间 
}

解法二程序分析：

解法二在解法一的基础上进行了优化，对出圈的人的节点进行删除，可以减少时间复杂度。

假设，要删除的节点下标为curIndex，其前驱节点下标为preIndex；

circle[preIndex] = circle[curIndex];

    假设要删除的节点下标curIndex=3，那么circle[2] = circle[3] ，circle[2]  = 4，circle[2]之前等于3，现在等于4。即下标为3的第四个人已经被删除了。

怎样遍历？   

preIndex = curIndex;

curIndex = circle[curIndex];

但是，在出圈的时候，curIndex 和preIndex 的变化有别于上面的操作：

出圈时，curIndex 需要后移，preIndex 应该不动！

每次循环，直接报数，因为被删除的人（例如上面的第四个人）不可能进行报数了。

void joseph(int count, int doom) {
int alive = count;				// 幸存人数
	int number = 0;				// 报数的数
	int curIndex = 0;			// 当前人下标
	int preIndex = count - 1;   // 前一个人下标
	int *circle = NULL;
	int index;

	circle = (int *) malloc (sizeof(int) * count);
	//对circle数组进行初始化 
	for(index = 0; index < count; index++) {
		circle[index] = (index + 1) % count;
	}

	while(alive > 0) {
		number++;
		if(number == doom) {
			alive == 1 ? printf("%d", curIndex+1) : printf("%d,", curIndex+1); 
			alive--;
			number = 0;
			circle[preIndex] = circle[curIndex];	//出圈操作 
		} else {
			preIndex = curIndex;	//处理下一个人 
		}
		curIndex = circle[curIndex];
	}

	free(circle);
}

解法三程序分析：

解法三里没有进行number报数，而是直接计算出需要移动的人数，然后定位到要出圈的人。
 

num = doom % alive - 1;

for(index = 0; index < (num == -1 ? alive - 1 : num); index++) {
      preIndex = curIndex;
      curIndex = circle[curIndex];
}

void joseph(int count, int doom) {
	int alive = count;	// 幸存人数
	int curIndex = 0;			// 当前人下标
	int preIndex = count - 1; // 前一个人下标
	int *circle = NULL;
	int index;
	
	circle = (int *) malloc(sizeof(int) * count);
	for(index = 0; index < count; index++) {
		circle[index] = (index + 1) % count;	// 初始化链表
	}
	
	while(alive > 0) {	// 只要还有幸存者，就继续“杀”
		int num = doom % alive - 1; // 直接计算出需要移动的人数，
		// 直接定位到要出圈的人
		for(index = 0; index < (num == -1 ? alive - 1 : num); index++) {
			preIndex = curIndex;
			curIndex = circle[curIndex];
		}
		// 该人出圈！
		alive == 1 ? printf("%d", curIndex+1) : printf("%d,", curIndex+1);  
		alive--;
		circle[preIndex] = circle[curIndex]; // 真正的出圈操作！
		curIndex = circle[curIndex]; // 继续处理下一个人
	}
	// 这个算法比normalJoseph.c效率提高30%！
	
	free(circle);
}

GitHub源码地址：

https://github.com/yangchaoy259189888/JosephRing/